Variation der Konstanten mit AWP y'= -y+e^{-x}, y(0)=1

Question

Aufgabe: y'= -y+e^{-x} y(0)=1

Problem/Ansatz:

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Ich habe ein Problem mit der Variation der Konstanten. Ich komme einfach nicht auf das Ergebnis. Wir haben keine Lösungswege, sondern nur Aufgabe und Ergebnis. Nun habe ich versucht mittels Internet und youtube mir das anzueignen, aber so richtig klappt das nicht. Ich mache anscheinend Fehler, die ich selbst nicht sehe.

Wäre klasse, wenn ich einmal eine detailierte Lösung, mit ALLEN Einzelschritten von euch bekommen könnte, so dass ich nachvollziehen kann, was ich falsch mache. Das Prinzip, bzw. die einzelnen Schritte sind nicht das Problem. Diese sind ja recht logisch. Aber wie schon gesagt... Irgenwo haperts.Ich habe es über die Trennung der Variablen versucht, mit der "Lösungsformel" und einsetzen, aber es kommt jedes Mal etwas anderes heraus. Das beginnt schon bei der homogenen Lösung.

Ich habe es über die Trennung der Variablen versucht, mit der "Lösungsformel" und einsetzen, aber es kommt jedes Mal etwas anderes heraus. Das beginnt schon bei der homogenen Lösung.

Vielen Dank Euch!!!

Comments

Das beginnt schon bei der homogenen Lösung.

Was sind denn die bisherigen Varianten deiner homogenen Lösung?

Answer 1

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Comments

Hallo Grosserloewe!

Danke für deine Lösung. Ich muss gestehen, dass ich dieses Lösungsprinzip so noch nicht kannte aus Büchern und Youtube-Videos. Das geht ja echt schnell!

Ich habe nach diesem Prinzip eine weitere Aufgabe versucht zu lösen und komme auch auf ein Ergebnis. Aber leider das falsche.

Ich hänge meine Rechnung mal an und vielleicht kannst du, oder jemand anderes mir meine Fehler aufzeigen.

Kann ich dein Lösungsprinzip so immer anwenden?

Eine Erklärung, wie das genau mit dem AWP funktioniert, wäre auch toll!

Besten Dank Dir/Euch!

Achja.. die Lösung sollte eigentlich lauten:

y=e^-x*(2-e^-x)

Fehler: Dateityp „pdf“ ist nicht erlaubt.

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Aufgabe: y'=- y +e^(-2x)

∫ 1dx =x +C

∫ s(x)  e^∫ g/x) dx= ∫ e^(-2x) e^x dx= ∫e^(-x) dx= -e^(-x) +C

Dieses Prinzip kann Du bei Variation der Konstanten immer anwenden.

AWB:

y(0)=1

Du setzt in die Lösung ein:

für x= 0 und

für y=1

Dann löst Du nach C auf und setzt C in die allgemeine Lösung (ohne AWB) ein

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Danke für deine schnelle Antwort!

A jetzt... Halb falsch Integriert.

Jetzt hats geklappt. Danke für die schöne und vor allem schnelle Lösungsmethode!

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Das klappt echt recht gut..

Nur was mach ich, wenn ich eine Gleichung mit: xy'+2y=x habe?

Kann ja schlecht durch x teilen um y' alleine zu bekommen. Irgendwie hock ich aufm schlauch....

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xy' +2y=x |: x

y' +(2y)/x=1  , x≠0->Variation der Konstanten

Lösung: y=C1/x^2 +x/3

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Und schon wieder brauch ich deine Hilfe Grosserloewe..

Ich komme bei der Aufgabe fast auf das richtige Ergebnis.. Kann aber meinen Fehler nicht finden.

meine Lösungsformel lautet:

y=e^(-2lnx) [xe^(2lnx)+C]

y=1/x^2 [x*x^2+C]

y=x+C/x^2

wo kommt denn x/3 aus deiner Lösung her? Ist glaub noch zu früh für mein Hirn :-)

Danke für deine Hilfe!

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Nach Einsetzen in die Lösungsformel erhält man:

y=e^(-2ln|x|) (x^3/3 +C)

y=1/x^2(x^3/3 +C)

y=x/3 +C/x^2

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Hallo Grosser Löwe,

Sei mir bitte nicht böse, aber ich hänge immer noch an dieser Aufgabe.

Könntest du mir sie nochmal detailliert aufschreiben, so dass ich meinen Fehler finden kann...? Ich komme nicht auf das x^3/3+C.

Laut Lösung inkl. AWB sollte (-4/3*x^-2)+x/3 herauskommen.

Vielen Dank!!

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Jetzt hab ichs doch geschafft.. Habe schonmal y=x/3 +C/x2 heraus..

Dann sollte das mit dem AWB doch auch funktionieren.. :-)

Danke trotzdem!

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so Grosser Löwe... Das funktioniert jetzt echt gut. Danke nochmals!

Darf ich dich nochmal um Hilfe bitten bei einem anderen Problem? Ich muss mir zum Thema DGL noch die Lösungsmöglichkeit mittels LaPlace-Transformation beibringen.

Unser Prof. hat für die gesamten geforderten Arten von DGL nur eine Stunde vorgetragen und somit weiß ich eigentlich überhaupt nicht, was ich bei LaPlace zu tun habe. Mit den Büchern komme ich nicht so recht klar.

Könntest du mit das mal detailliert zeigen? Wie muss ich vorgehen, auf was achten usw?

Ich habe fünf Aufgaben. Ich würde sie hier mal einbringen:

y''-y= 8e^3t    y(0)=1, y'(0)=5

x''(t)+2x'(t)+5x(t)=0    x(0)=10, x'(0)=0

du/dt+(1/RC)*u(t)=0    u(0)=U0

(d^2/dt^2)*q+(1/LC)*q=0    q(0)=q0, dq(0)/dt=I0

y''(t)-y'(t)=8e^3t    y(0)=1, y'(0)=5

Vielen Dank für deine Hilfe!!

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Bitte einen neuen Beitrag erstellen, wird sonst zu unübersichtlich,

ist ja auch ein anderes Thema , ich helfe dann weiter.

Danke

Answer 2

y'+y=e^{-x}

homogene Gleichung

y'+y=0

charakteristische Gleichung:

λ+1=0

λ=-1

y_{hom}=c*e^{-x}

Das entspricht dem Störterm e^{-x} auf der rechten Seite. Daher lautet der Ansatz für die partikuläre Lösung:

y_{part}=d*x*e^{-x}

y_{part}'=d(1-x)e^{-x}

Einsetzen in DGL:

d(1-x)e^{-x}=-d*x*e^{-x}+e^{-x}|:e^{-x}

d(1-x)=-dx+1

d=1

y=y_{hom} + y_{part}

=c*e^{-x}+xe^{-x}

=(c+x)e^{-x}

AWB einsetzen liefert

c=1