AWP mittels Variation der Konstanten y' (t)= 12t^2 * e^-y(t) - e^-y(t)

Question

Aufgabe: ich brauche Hilfe bei einer AWP Aufgabe. Wir sollen diese durch Variation der Konstanten lösen.

Die Aufgabe lautet so:

y' (t)= 12t² * e^-y(t) - e^-y(t)    für t ≥ 0.5

^{y ( 0.5) = 0}  

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass man diese Aufgabe löst, indem man die homogene und partikuläre Lösung zusammenführt.

Ich muss also Trennung der Variablen machen, um die homogene Lösung zu bestimmen. Das Problem hier ist, ich weiß nicht, auf welchen Teil, ich die Trennung machen muss. Denn normalerweise muss man bei dieser Methode ein Produkt vorliegen haben und dann nur auf den Teil mit y , die Methode anwenden. Der Teil ohne , der kein y beinhaltet, ist normalerweise als eine Summe/ Differenz vorhanden, hier aber als ein Produkt. Und dann ist da auch noch 2-mal e^-y(t) das ich irgendwie nicht zusammenfassen kann.

Ich brauche eure Hilfe!! Wie soll ich da denn nun vorgehen?

Answer 1

Probier es mal so:

y' (t)= 12t^2 * e^-y(t) - e^-y(t)  = e^(-y) * ( 12 t^2 - 1 )

==>  dy / dt  =  e^(-y) * ( 12 t^2 - 1 )

  dy * e^y  =  ( 12 t^2 - 1 ) * dt

Answer 2

Hi, es gilt

$$ y'(t) = e^{-y(t)} (12 t^2 -1) $$ Daraus folgt $$  \frac{dy}{e^{-y}} = dy \cdot e^y = (12 t^2 -1 ) dt $$ und daraus $$ e^y = 4 t^3 - t+C  $$ oder $$ y  = \ln( 4 t^3 - t+C  )  $$ Aus $$  y \left( \frac{1}{2} \right) = 0 $$ folgt $$ 4\left( \frac{1}{2} \right)^3 - \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} +C = 1 $$ also $$ C = 1  $$ und damit die Lösung

$$  y(t) = \ln( 4t^3 - t +1)  $$

Comments

Vielen Dank. Jetzt macht es Sinn. Aber das ist doch nur reine Trennung der Variablen. Aber in dieser Altklausur steht tatsächlich, wir sollen mittels Variation. Aber was soll man hier mit Variation machen?

---

Variation der Konstanten setzt man üblicherweise bei einer Gleichung der Form $$ y' + g(x) y = h(x)  $$ ein. Diese Form liegt hier aber nicht vor.

Answer 3

Sollst Du die DGL wirklich via Variation der Konstanten und nicht mittels

Trennung der Variablen lösen?

Klammere auf der rechten Seite e^(-y) aus

y'(t)= e^(-y) (12t^2-1)

dy/dt= e^(-y) (12 t^2 -1)

e^y dy= (12t^2-1)dt

usw.

Comments

Danke schön. Ja, in dieser Altklausur Aufgabe steht wirklich Variation. Aber was soll ich da denn noch variieren, wenn es nichts mehr zu variieren gibt, weil  der  "y- unabhängige" Teil bereits doch verpufft ist?

---

Es stimmt, die allgemeine Struktur liegt nicht vor(y' +a(x)y=b(x) )

vielleicht so ?

Addiere e^(-y) auf beiden Seiten.

Teile dann durch e^(-y)

--------->

y' /(e^(-y)) +1= 12 t^2

y' e^y +1= 12 t^2

------->homogene Gleichung:

y' e^y +1=0

Kann aber trotzdem nicht mit Variation der Konstanten gelöst werden.

Poste doch mal die Orginalaufgabe.