Anfangswertproblem mittels Variation der Konstanten.

Question

ich habe diese Beispielaufgabe im Netz gefunden. Man muss mittels Variation der Konstanten die Lösung des Anfangswertproblems bestimmen:$$y'(t)=t·y(t)−{ e }^{ \frac { { t }^{ 2 } }{ 2 }  },\quad \quad y(0)=0$$

Ich habe schon in Literatur und im Internet nach Erklärungen gesucht, wie man Schritt für Schritt solche Aufgaben löst, jedoch verstehe ich das ganze einfach nicht. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand anhand dieses Beispiels zeigen könnte wie man solche Aufgaben löst.

Answer 1

Hallo Linn,

Inhomogene DGL 1. Ordnung  (Variation der Konstanten):

y '  +  f(t) · y  =  s(t)       

[ hier: y' - t · y  =  - e^{1/2 t^2} ; im Folgenden älterer Text von mir, daher t=x ] 

Die allgemeine Lösung der homogenen  DGL  y '  +  f(x) · y  =  0  ist 

y_h  =  c · e ^- F(x)         mit  F(x)  = ∫ f(x)  dx    (eine beliebige Stammfunktion von f)  

Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL erhält man aus y_h , indem man die Konstante c variabel macht, indem man sie durch c(x) ersetzt:

y  = c(x) · e ^- F(x)     ( jetzt muss nur noch c(x) bestimmt werden)

Wenn man jetzt y mit der Produktregel (und Kettenregel) ableitet, hat man   

y' = c'(x) · e ^- F(x) +  c(x) · (-f(x)) · e ^- F(x) 

 y' und y in die inhomogene DGL eingesetzt ergibt: 

 c'(x) · e ^- F(x) +  c(x) · (-f(x)) · e ^- F(x) + f(x) · c(x) · e ^- F(x)  =  s(x)  

und nach c‘(x) auflöst    c'(x)  =  s(x) · e^F(x) 

→  c(x)  =  ∫ c'(x) dx  = ∫ s(x) · e^F(x) dx   

und damit  

y =  ∫ s(x) · e^F(x) dx   ·  e^- F(x)   (allgemeine Lösung  der DGL)  

----------

Hier:     y' - t · y  =  - e^{1/2 t^2}

x = t  ,  s(t)  = - e^{1/2 t^2} ,  f(t) = - t ,  F(t) = - 1/2 t²

y = ∫  - e^{1/2 t^2} · e^{-1/2 t^2} dt  · e^{1/2 t^2}  = - ∫ e⁰ dt  · e^{-1/2 t^2}  =  - ∫ 1 dt  · e^{-1/2 t^2}  =  (- t + c) · e^{1/2 t^2}  

y  =  ( - t + c ) · e^{1/2 t^2}   (allgemeine Lösung deiner DGL) 

Anfangswertproblem:  y_A(0) = 0

0 = c · e⁰  →  c = 0    ;   →  y_A  =  - t · e^{1/2 t^2}   

Gruß Wolfgang

Answer 2

Mit der Lösungsformel funktioniert das so:

zum Schluß noch die AWB einsetzen in die Lösung

also y =t=0 und das berechnete C dann in die Lösung einsetzen.

Comments

2. Möglichkeit der Berechnung mit Variation der Konstanten: