Aufgabe:
Gegeben das folgende Anfangswertproblem
$$\frac{dy}{dt}−y=f(t),y(0)=−1$$
Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Variation der Konstanten die Lösungen der folgenden Differentialgleichungen
1. Die homogene Lösung des AWPs
$$\frac{dy}{dt}-y=0, y(0)=-1$$
2. Die Lösung des AWPs für $$f(t) = t^3+3t$$
$$\frac{dy}{dt}-y=t^3+3t, y(0)=-1$$
3. Die Lösung des AWPs für $$f(t) = cos(2t)$$
$$\frac{dy}{dt}-y=cos(2t), y(0)=-1$$
Problem/Ansatz:
Also für die erste Aufgabe habe ich $$y_h=C_1*e^t$$. Für $$y(0)=-1$$ musste also die homogene Lösung
$$-1=1*C_1$$, und folglich $$C_1=-1, y_h=-e^t$$ sein, aber scheinbar ist es nicht die richtige Lösung.
Für die 3. Aufgabe, also für $$f(t)=cos(2t)$$, habe ich
$$y=\frac{-4}{5}*e^t+\frac{2sin(2t)-cos(2t)}{5}$$, welches aber auch nicht die richtige Lösung ist. Ich weiß ehrlich gesagt nicht mehr, an welcher Stelle ich einen Fehler gemacht habe. Die 2. Aufgabe genauso, aber von der habe ich irgendwie noch weniger Ahnung.
