Zeigen Sie: Ist A und B invertierbar so ist AB invertierbar.

Question

Aufgabe:

Wenn A,B∈M (n×n;K). Zeigen Sie:

Sind A und B invertierbar, so ist AB invertierbar.

Problem/Ansatz:

Also meine Idee zu der Aufgabe ist nur:

B^-1A^-1=(AB)^-1

Die Aufgabe ist logisch und ich verstehe auch den Inhalt, nur ich weiß leider nicht wie es am besten zu zeigen ist.

Answer 1

Aloha :)

Wir versuchen, die Inverse von \(AB\) zu bestimmen und schauen, ob wir auf eine definierte Lösung kommen. Das Produkt einer Inversen mit ihrer Matrix ist die Einheitsmatrix. Davon gehen wir aus:

$$\left.(AB)\cdot(AB)^{-1}=\mathbf 1\quad\right|\text{Links-Multiplikation mit \(A^{-1}\)}$$$$\left.A^{-1}(AB)\cdot(AB)^{-1}=A^{-1}\cdot\mathbf 1\quad\right|\text{Assoziativgesetz links}$$$$\left.(A^{-1}A)B\cdot(AB)^{-1}=A^{-1}\quad\right|A^{-1}A=\mathbf 1$$$$\left.B\cdot(AB)^{-1}=A^{-1}\quad\right|\text{Links-Multiplikation mit \(B^{-1}\)}$$$$\left.B^{-1}B\cdot(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\quad\right|B^{-1}B=\mathbf 1$$$$\left.(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\quad\right.$$

Wir haben also einen definierten Ausdruck für die Inverse \((AB)^{-1}\) gefunden.

Comments

Vielen Dank!

Hättest du vielleicht auch bei einer Ähnlichen Aufgabe eine Idee ?

Da geht es nämlich darum:

Ist A invertiertbar mit A^-1=A^t, so gilt detA=1 oder detA=-1

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Das gehört streng genommen nicht mehr zur Frage. Daher solltest du eigentlich die Frage hier abschließen und einen neue Frage aufmachen. Das findet man sonst nicht in den Suchfunktionen.

Da ich aber nun schon mal dran bin:

$$\mathbf 1=A\cdot A^{-1}=A\cdot A^T\implies$$$$1=\operatorname{det}(A\cdot A^T)=\operatorname{det}(A)\cdot\operatorname{det}(A^T)=\operatorname{det}(A)\cdot\operatorname{det}(A)\implies$$$$\operatorname{det}(A)=\pm1$$

Reicht dir das so? Falls nicht, bitte einfach nochmal nachfragen.