Wenn v ein Eigenvektor ist, ist dann auch λv ein Eigenvektor? / Wenn λ(1,1) EV ist, ist dann auch (1,1) EV?

Question

Etwas blöde Fragen vielleicht, aber wenn ich

1) einen Eigenvektor v habe, ist dann auch λv ein Eigenvektor?

2) zum Beispiel weiß, dass mein (zweidimensionaler) Eigenvektor v die Eigenschaft hat, dass v1 = v2, muss ich dann schreiben v = λ(1, 1), oder reicht es zu sagen, dass v = (1, 1)?

Würde mich über Antworten freuen!

Answer 1

1) einen Eigenvektor v habe, ist dann auch λv ein Eigenvektor?

Ja; denn   Wenn es ein k∈ℝ gibt mit f(v) = k*v     #

==>    f(λv)

         = λ*f(v)  wegen Linearität

              = λ*(kv)  wegen  #

              = k*(λv)   wegen der VR-Gesetze

    

2) zum Beispiel weiß, dass mein (zweidimensionaler) Eigenvektor v die Eigenschaft hat, dass v1 = v2, muss ich dann schreiben v = λ(1, 1), oder reicht es zu sagen, dass v = (1, 1)?

Kommt drauf an, was du sagen willst:

(1;1) ist EIN Eigenvektor oder

Die Menge aller Eigenvektoren (Eigenraum zu Eigenwert … ) ist {  λ(1, 1) |  λ∈ℝ } .

Comments

Danke für den Beweis zu 1) ! Die Linearität ist doch auch eine Forderung der Vektorraum-Axiome, oder?

Zu 2): Eigentlich soll damit die Menge aller Eigenvektoren ausgedrückt werden, aber dann kann das ja nicht sein, oder? Ich beziehe mich auf die letzten Sekunden (ab 14:39) in diesem Video: https://www.youtube.com/watch?v=9NlGuQ26y80

Warum darf der da einfach (1,1) sagen?

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Der sagt ja "eigenfunction" soll wohl sowas sein wie

"Basis des Eigenraums".

Danke für den Beweis zu 1) ! Die Linearität ist doch auch eine Forderung der Vektorraum-Axiome, oder?

Nein, Linearität ist eine Forderung an die Abbildung, vielleicht

habt ihr einfach nur Homomorphismus gesagt, das ist das gleiche

wie "lineare Abbildung zwischen Vektorräumen"

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Achso, als Basis kann man dann natürlich (1,1) schreiben, stimmt! Und ja, Homomorphismus ist ein gutes (übergeordnetes) Stichwort! Dankeschön für die Antwort.