Aufgabe:
… Finde das C.P. und bestimme alle Eigenwerte und Alg.V. und geo.V. und gebe falls möglich eine ähnliche Matrix in Diagonalform.
$$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\0 & 1 &1 \end{pmatrix} in:\mathbb{Z} /2\mathbb{Z}$$
Problem/Ansatz:
… Da ich noch ein paar Probleme habe im Restklassen brauche ich evtl etwas hilfe.
Hier mein Ansatz
$$|\lambda I - A| = \begin{pmatrix} \lambda-1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 0&1&\lambda-1 \end{pmatrix} \rightarrow Sarrus \rightarrow \begin{pmatrix} \lambda-1 & 1 & 1 &\lambda-1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0&0 & \lambda-1 \\ 0&1&\lambda-1&0&1 \end{pmatrix}$$
$$= (\lambda-1)(\lambda-1)(\lambda-1) \text{| (die anderen kann ich streichen, da diese immer min. einmal mal Null haben) }$$
Sobald ich ja $$2\lambda$$ erhalte, muss ich dieses ja streichen, da ja 2 mod 2 = 0 ist.
Mein C.P wäre dann
$$0=\lambda^3+1$$
$$\lambda=-1$$
in mod 2 müsste das ja sein
$$\lambda=1$$
Ich setze dies in die Matrix ein:
$$EV\lambda = \begin{pmatrix} 0 & 1&1 \\ 0 & 0&0\\0&1&0 \end{pmatrix}$$
Und hier weiss ich nicht weiter, muss ich jetzt die Matrix noch umformen, das ich:
$$EV \lambda = \begin{pmatrix} 0 & 0&1 \\ 0 & 0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}$$
erhalte und dann x3 = 0 setzen kann, oder setze ich mit der Matrix davor x2=x3 (nicht -x3 da ja in mod2) und x1= als freie Variable?
Gerne Bezug nehmen ob es bis hierhin richtig war, die AlgV und die geoV hängt ja dann davon ab.
