Eigenvektoren berechnen, zweite Komponente des EV

Question

Aufgabe:

Eigenvektoren der Matrix A = \( \begin{pmatrix} cos(a) & sin(a) \\ sin(a) & -cos(a) \end{pmatrix} \)  bestimmen.

Problem/Ansatz:

Laut diesem Rechner:

https://matrixcalc.org/en/vectors.html#eigenvectors(%7B%7Bcos(x),sin(x)%7D,%7Bsin(x),-cos(x)%7D%7D)

stimmt mein Wert für die erste Komponente x = \( \frac{-sin(a) * y }{cos(a) - 1} \) .

Jetzt steht da beim Rechner für die zweite Komponente x2 = x2. Also müsste das bei mir y = y sein. Aber wie kommt man denn einfach so, so schnell darauf? Normalerweise müsste man doch jetzt die Lösung für x in die zweite Gleichung des linearen Gleichungssystems (A-t_i * E₂) * x_i = 0 einsetzen. Dann kommt bei mir aber etwas ziemlich unschönes raus, ein großer Bruch...

gibt es einen Trick, wie man einfach auf die zweite Komponente schließen kann?

Comments

Da 1 ein Eigenwert ist, hat$$\left(\begin{array}{cc}\cos(\alpha)-1&\sin(\alpha)\\ \sin(\alpha)&-\cos(\alpha)-1\end{array}\right)$$den Rang 1. Daher bedarf es nur der ersten Zeile:

\((\cos(\alpha)-1)x+\sin(\alpha)y=0\).

Wenn also die 2-te Komponente \(y\) ist, dann ist die erste Komponente

\(-\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)-1}y\)

---

Dankeschön. Gilt das immer, wenn der rang 1 ist?

Wenn ein EW = 1, der zweite beliebig, heisst es automatisch, dass auch rang = 1?

Gilt das auch, wenn es nur einen EW = -1 ist, und der zweite beliebig?

---

Wenn man einen Eigenwert \(\lambda\) einer Matrix \(A\) gefunden hat,

dann gilt \(\det(A-\lambda\cdot E_n)=0\), also Rang(\(A-\lambda E_n)< \)Rang(\(A)\leq n\).

Answer 1

Laut diesen CAS

https://www.geogebra.org/classic#cas

A:={{cos(a),sin(a)},{sin(a),-cos(a)}}

JordanDiagonalization(A)

\( \left\{ \left(\begin{array}{rr}1&-\operatorname{tan} \left( \frac{a}{2} \right)\\\operatorname{tan} \left( \frac{a}{2} \right)&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\\\end{array}\right) \right\} \)

Comments

Warum kommt bei deinem CAS was anderes raus als bei dem Link oben? Ich denke mein Link ist richtig, da ich ja auch per Hand auf die erste Komponente komme.

---

Ich kenne Deinen Rechenweg nicht, aber z.B.

Mit der richtigen Matrix

\(\left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-1&\left(\begin{array}{rr}\operatorname{cos} \left( a \right) + 1&\operatorname{sin} \left( a \right)\\\operatorname{sin} \left( a \right)&-\operatorname{cos} \left( a \right) + 1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&1&\left(\begin{array}{rr}\operatorname{cos} \left( a \right) - 1&\operatorname{sin} \left( a \right)\\\operatorname{sin} \left( a \right)&-\operatorname{cos} \left( a \right) - 1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

===>

\(\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}-x2 \cdot \frac{\operatorname{sin} \left( a \right)}{\operatorname{cos} \left( a \right) + 1}&-x2 \cdot \frac{\operatorname{sin} \left( a \right)}{\operatorname{cos} \left( a \right) - 1}\\x2&x2\\\end{array}\right)\)

Einzelschrittnachweis

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

---

Hallo wächter,

du hast ein anderes A genommen, als in der Aufgabe steht.
Dein A beschreibt eine Drehung, das Aufgaben-A
jedoch eine Spiegelung, daher auch die beiden Eigenwerte +/-1

---

Danke für den Hinweis - ich korrigiere das oben....

---

Naja gut, in einen online rechner habe ich es ja auch eingegeben und es kam das selbe wie bei dir raus. Aber meine frage ist doch, wie man so einfach auf die zweite Komponente kommt, wenn man die erste (also den bruch), schon hat. Zum Beispiel für EV v1

---

Hm, ich weiß jetzt nicht, was Du hören willst, Gauss

λ=-1

{{cos(a) + 1, sin(a)},

({sin(a), -cos(a) + 1} - sin(a) / (cos(a) + 1) {cos(a) + 1, sin(a)})}

===>

\(\left(\begin{array}{rr}\operatorname{cos} \left( a \right) + 1&\operatorname{sin} \left( a \right)\\0&0\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) =0\)

===>

\( \left\{ x1 = -x2 \cdot \frac{\operatorname{sin} \left( a \right)}{\operatorname{cos} \left( a \right) + 1} \right\} \)

x2 beliebig, x2=1

---

Ok, x1 ist die erste komponente. Und wie komme ich schnell auf x2 = ..., sodass ich den vektor angeben kann? Erster komponent ist dann dein angegebener bruch. Und die zweite komponente?

---

Ach so - das meinst Du...

IST beliebig, Eigenvektoren bilden eine Basis eines Vektorraums

---

Das heißt, ich muss immer nur EINE komponente eines EV ausrechnen? Und die andere kann ich immer auf 1 setzen????

---

Du musst das zum Eigenwert gehörige LGS lösen, je nach

DimmensionEigenraum_λ = \(n- Rang(A-{\lambda}E) \)

bleiben entsprechend viele Variablen unbestimmt und können geeignet gewählt werden.

Übersichtlich wäre für jeden Basisvektor eine unbestimmte Variable 1 die anderen 0...

hier haben wir nur x2 als unbestimmte Variable,

also x2=1 oder

x2=cos(a)+1, wenn Du den Bruch weg haben willst

---

Was ist n? Anzahl der vorhandenen Variablen?

---

ja, die Dimension der Matrix A_n×n
App Zeile 7

---

Ich Schlaumeier,

wollte gerade die Aufgabe nochmal neu rechnen, mit dieser Formel:

P_A (t) = t² - (a+c) * t + (a*c + b²), wobei die erste Klammer die Spur darstellt, die zweite die Determinante (für 2x2 Matritzen).

Dann kriege ich raus: t² -cos² + sin² = 0.

Ich habe gestern voreilig statt -cos² + sin² Folgendes gelesen: sin² + cos², und das wäre = 1. Ist es aber im obigen Falle eben nicht. Wie kriege ich denn jetzt die richtigen EW raus. Ist ja dann doch nicht +1 & -1.

---

Du beziehst dich auf die falsche Matrix !

---

Auf die aus meinem eingangspost:

(a*c+b^2) = cos(x) * -cos(x) + sin^2(x)

---

Bei der Determinante muß es a*c - b^2 heißen, dann passt das auch

\(  t^{2} -( \operatorname{cos} \left( a \right) -\operatorname{cos} \left( a \right) ) t   - (\operatorname{cos} \left( a \right) (-\operatorname{cos} \left( a \right) )-\operatorname{sin} ^{2}\left( a \right) )=0\)

\(t^{2} - \operatorname{cos} ^{2}\left( a \right) - \operatorname{sin} ^{2}\left( a \right)=0\)

---

Aber die Determinante ist doch \(cos*(-\cos) - \sin*\sin\).

---

Ups, vielen dank!

---

@ermanus: Also -cos^2-sin^2 = ( *-1) (cos^2+sin^2) = -1 * 1  = -1 ?

---

Ja. Also ist das charakteristische Polynom \(t^2-1\), folglich

sind die Eigenwerte die beiden Lösungen von \(t^2=1\),

also \(t_1=1\) und \(t_2=-1\).

---

Und die Determinante ist = 1 ?

---

Die Determinante von \(A\) ist

\(\cos(\alpha)\cdot(-\cos(\alpha))-\sin(\alpha)\cdot \sin(\alpha)=\)

\(=-(\cos(\alpha)^2+\sin(\alpha)^2)=-1\).

---

Dankeschön! :)

---

Ich habe das noch nicht so richtig mit dem zweiten Parameter verstanden. Da ein EW = 1 ist, und somit die erste Zeile beim einsetzen von Wert 1 = 0 wird (Ja, oder?), bleibt nur noch eine Zeile übrig, und somit kann ich den zweiten Parameter x2 des EV einfach beliebig wählen, bzw. auf 1 setzen?

Und, wie normiere ich denn solch einen Vektor ?\( \begin{pmatrix} -sin(x)x2/(cos(x)-1)\\1 \end{pmatrix} \)

Bzw. der Prof hat in der Musterlösung den EV einfachso angegeben. Aber grundsätzlich muss man doch immer normieren. Wieso hat er das bei diesem Vektor nicht getan?

---

Laut aufgabenstellung ist der Winkel x aus [0, pi].

Ist es nicht die Kreisformel? Und der Radius ist 1, also auch die Länge? Und deswegen muss man nicht normieren?

---

Muss leider offline gehen, kann mich erst morgen wieder melden ...

---

Ok, dankeschön! Schönes WE

---

v2 kann folgender sein, ohne ausrechnen, oder?

< \( \begin{pmatrix} -sin(x) / cos(x)-1\\1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1\\sin(x) / cos(x)-1 \end{pmatrix} \)> = 0

Wobei der zweite Vektor v2 wäre.

---

huhu, falls du Zeit hast, @ermanus... :)

---

Und, wie normiere ich denn solch einen Vektor ?\( \begin{pmatrix} -sin(x)x2/(cos(x)-1)\\1 \end{pmatrix} \) Bzw. der Prof hat in der Musterlösung den EV einfachso angegeben. Aber grundsätzlich muss man doch immer normieren. Wieso hat er das bei diesem Vektor nicht getan?

Hallo,

in der Aufgabe ist nicht von normierten Eigenvektoren die Rede.

Man kann also ein beliebiges Vielfaches \(\neq 0\) eines Eigenvektors

angeben.

---

Aber wäre mein zweiter EV v2 auch richtig?