Alle Eigenvektoren bei EW<1 Nullvektoren?

Question

Aufgabe:

Alle Eigenwerte einer Matrix sind kleiner als 1. Der Prozess soll also zerfallen.

Warum kommt für die Eigenvektoren immer der Nullvektor? Ist das immer so? Warum beeinflusst der größte Wert k1=0.932 trotzdem die Prozessentwicklung?

Problem/Ansatz:

0.1	1.1	0.3
0.6	0	0
0	0.6	0

Eigenwerte auf 3. Nachkommastelle gerundet: k1=0.932, k2=-0.177, k3=-0.656

Für alle kommt der Nullvektor als "Eigenvektor"

Answer 1

Der Nullvektor ist laut Definition kein Eigenvektor.

Grund für diese Festlegung ist, dass die Gleichung

        M · v = λ · v

immer die Lösung λ∈ℝ, v=0 hat.

Comments

Genau. Meine Frage ist also warum der Eigenwert trotzdem Einfluss auf das Entwicklungsverhalten hat, obwohl es keinen der Definition entsprechenden Eigenvektor besitzt?

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obwohl es keinen der Definition entsprechenden Eigenvektor besitzt

Es gibt Eigenvektoren. Es gibt sogar zu jedem Eigenwert unendliche viele Eigenvektoren. Das liegt einfach daran, dass jedes Vielfache (außer dem Nullfachen) eines Eigenvektors selbst wieder ein Eigenvektor ist.

Weißt du, wie man Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen löst?

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Mein GTR löst LGS auch in Abhängigkeit von einer Variable, also wenn es unendlich viele Lösungen gibt.

Welche Eigenvektoren gibt es denn zu diesen konkreten Eigenwerten?