Zeigen Sie: A2 besitzt n reelle nichtpositive Eigenwerte (unter Berücksichtigung der Vielfachheiten).

Question

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei $A \in \operatorname{Mat}_{\mathbb{R}}(n, n)$ mit $A^{T}=-A$.
a) Zeigen Sie: $A^{2}$ besitzt $n$ reelle nichtpositive Eigenwerte (unter Berücksichtigung der Vielfachheiten).
Hinweis: $A^{2}=-A \cdot(-A)$
b) Zeigen Sie: Betrachtet man $A$ als komplexe Matrix, so gilt $\operatorname{Re} \lambda=0$ für jeden Eigenwert $\lambda$ von $A$.
c) Folgern Sie: Für $n$ ungerade ist $A$ nicht invertierbar.

Comments

a) $A^T A$ ist eine symmetrische positiv semidefinite Matrix

Insb $A^2 = (-A)(-A) = - A^TA$ symmetrisch, negativ semidefinit.

b) Ist $\lambda$ ein Eigenwert von $A$, so ist $\lambda^2$ ein Eigenwert von $A^2$, insb. $\lambda^2 \in \mathbb R$ und $\lambda^2 \le 0$

Ist $\lambda = x+\mathrm{i}y$, dann ist $\lambda^2 = x^2 - y^2 + \mathrm{i}xy$. Aus den Bedingungen oben folgt $x=0$.

c) Wenn $n$ ungerade, hat $A$ einen reellen Eigenwert (Polynome ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten haben immer eine reelle Nullstelle). Nach b) ist dieser gleich 0.

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Danke, aber warum ist A^(T)A positiv semidefinit?

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$v^TA^TAv = (Av)^T(Av) \ge 0$