Eigenwertproblem durch Separationsansatz zur Lösung einer homogenen PDGL mit homogenen Randbedingungen

Question

Aufgabe:

Durch einen Separationsansatz zur Lösung einer homogenen PDGL mit homogenen Randbedingungen ergab sich folgendes Eigenwertproblem:

X′′(x)+ μ^2*X(x)=0

mit den Randbedingungen X(0)=X(2π)undX′(0)=X′(2π)

Bestimmen Sie alle positiven Eigenwerte μ=μk>0.

Ich weiß, dass der Ansatz λ2+ μ^2 =0 ist. Aber irgendwie bringt mich das nicht nach vorne.

Answer 1

$$ \begin{array}{l}{\ddot{x}+0 \cdot \dot{x}+(\mu)^{2} \cdot x=0} \\ {\lambda^{2}+0 \cdot \lambda+(\mu)^{2}=0} \\ {\lambda^{2}-(i \mu)^{2}=0} \\ {\lambda^{2}=(i \mu)^{2}} \\ {\lambda_{1}=+i \mu} \\ {\lambda_{2}=-i \mu}\end{array} $$

oder

$$ X_H= A \cdot e^{i  \cdot \mu \cdot t}+ B \cdot e^{-i  \cdot \mu \cdot t} \\ X_H= A \cdot (\cos \mu \cdot t + i \sin \mu \cdot t )+ B \cdot(\cos \mu \cdot t - i \sin \mu \cdot t ) $$