Du hast hier eine sogenannte exakte DGL vorliegen.
Um das zu sehen, schreiben wir zunächst die Gleichung in Differentialform und kürzen gleich dabei den Faktor 2 in Zähler und Nenner des Bruches:$$\underbrace{(-3x^2+y-1)}_{=P}dx + \underbrace{(x-y^3+2)}_{=Q}dy = 0$$Nun gilt \(P_y = Q_x = 1\).
Damit sind die Integrabilitätsbedingungen erfüllt und es gibt ein Potential \(\Phi(x,y)\) mit$$P =\Phi_x,\: Q= \Phi_y$$ und die allgemeine Lösung der Gleichung ist$$\Phi(x,y)= C$$Wir berechnen \(\Phi\):
$$\Phi = \int P\, dx + \phi(y) = -x^3+yx-x+\phi(y)$$
$$\stackrel{\Phi_y=Q}{\Longrightarrow}x+\phi'(y) =x-y^3+ 2\Rightarrow \phi'(y) = -y^3+2$$
$$\Rightarrow \phi (y) = -\frac 14 y^4 + 2y \;(+constant)$$
Damit erhalten wir die allgemeine Lösung:
$$-x^3-x+xy- \frac 14 y^4 + 2y = C \text{ mit } C \in \mathbb R$$.
Die Konstante \(C\) bestimmst du nun durch Einsetzen der Anfangsbedingung, was ich dir überlasse.
Achtung: Die Lösung der DGL ist hier implizit in Form einer Gleichung gegeben, die sich meines Erachtens nicht ohne weiteres nach \(y\) auflösen lässt. Der Satz über implizite Funktionen sichert aber zu, dass die Gleichung eine eindeutig bestimmte Funktion für das gegebene Anfangswertproblem in einer Umgebung von (0,1) definiert.
