Bestimme die Lösung(-en) der Differentialgleichungen mit Hilfe der Trennung der Variablen. Bsp. y'(t)+ 2y(t)= exp (-t)

Question

ich hoffen sie können nochmal helfen. Ich stecken bei -nur diesen 3 aufgaben.

Bestimmen sie die Lösung(-en) zu folgenden Differentialgleichungen mit hilfe der Trennung der Variablen.

a) y'(t)= -3ty²(t)

b) y'(t)= -3y(t)+6  hier ist zusätzlich noch eine Substitution der Form u(t)=y(t)-b/a nötig

c) y'(t)+ 2y(t)= exp (-t)

So das waren sehr lang ;-)

Ich haben Probleme wenn sie so viel Text in Deutsch haben. Dann ich verstehen nicht ganz was ich machen soll. Vielleicht einer von Ihnen kann mir helfen. Ich danken sehr.

Tian

Comments

Aufgabe a)

$$ y'(t)= -3ty^2(t)\\\frac{dy}{dt}=-3 t y^2\\ \frac{1}{y^2}dy=-3tdt\\ \int \frac{1}{y^2}dy=\int-3tdt \\ -\frac{1}{y}+C_1 =-3/2 t^2+C_2\\\frac{1}{y} =3/2 t^2-C_2+C_1\\y=\frac{1}{3/2 t^2-C_2+C_1}$$

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%28t%29%3D-3ty%28t%29%5E2

Letzten Umformungen nur um auf die Lösung bei wolframalpha zu kommen.

$$1/2C=-C_2+C_1\\y=\frac{1}{3/2 t^2+1/2C}\\y=\frac{1}{1/2(3 t^2+C)}\\y=\frac{2}{3t^2+C} $$

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Mach besser aus dem blauen Teil eine eigene Frage. Der geht hier unter.

Beachte bitte: https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Aus Aufgabenblöcken sollst du mehrere Fragen machen.

EDIT: Blauer Teil ist nun eine eigene Frage und wurde hier entfernt.

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Hi,

ich habe allen Fragen getrennt.

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Bitte. Gern. Könntest du noch die Links dazu angeben, danach kann ich bei dieser Frage einen Teil löschen. Die Antwort zu 1a) natürlich nicht ;)

Gefunden:

https://www.mathelounge.de/87997/berechnen-sie-die-losungen-das-gegebene-anfangswertproblem

und https://www.mathelounge.de/88005/logischtische-gleichung-losen

Answer 1

c) y'(t) + 2y(t)= exp (-t)

Inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung:

Lösung ist y(t) = y_h(t) + y_p(t)        (Lösung der homogenen Gleichung + partikuläre Lösung)

Homogene DGL:

y'(t) + 2*y(t)  = 0 

Trennen der Variablen:

dy/y(t) = -2  dt

Integrieren:

ln y(t) = -2 *t + C

Daraus folgt:

 y_h(t) = C * e^-2t

Partikuläre Lösung:

Variation der Konstanten:

y (t) = C(t) * e^-2t   und  y ' (t) = C'(t) * e^-2t + C(t) * (-2*e^-2t)

Einsetzen in DGL: C'(t) * e^-2t + C(t) * (-2*e^-2t) + 2* C(t) * e^-2t = e^-t

⇒ C'(t) = e^t

Trennen der Variablen: dC = e^t dt

Integrieren:   C (t) = e^t

in y(t) einsetzen: y_p(t) = e^t * e^-2t = e^-t

Allgemeine Lösung:

y(t) = c * e^-2t +  e^-t

Answer 2

1) y ' (t)= dy/dt = 3t y² ⇔ dy/y = 3t dt ⇔ ∫ dy/y = ∫3t dt  ⇔ ln(y)-ln(y₀)= 3/2 (t²- ^t₀ 2) ⇒ y=y₀ e^{3/2  (t^2-t₀ ^2)} 

2) -1/3 y ' (t)= y(t)-2 Substitution u(t)= y(t)-2, dann ist u ' (t)= y '(t) und es gilt

   -1/3 u ' (t)= u ⇔ u'(t)=-3u ⇔ du/u = -3 dt ⇔ ln(u)-ln(u₀)= -3(t-t₀) ⇔  u(t)=u₀ e^-3(t-t₀ ) ⇒  y(t)= u₀ e^-3(t-t₀ ) -2

3) y ' (t) = -2y(t) +e^-t  a(t)=-2 b(t) = e^-t   dann ist y(t)= y₀e^-2(t-t₀ )  +e^-2(t-t₀ )  ∫^t_{t_0}  e^-x e^-2xdt =e^-2(t-t₀ )  (y₀ -1/3 e^-3(t-t₀ ) )

Answer 3

2. y'(t) = -3x(t) + 6 = -3(y(t)-2)

Substitution u(t) = y(t) - 2, u'(t) = y'(t), y(t) = 2 + u(t)

u'(t) = -3u(t)        |separieren

du/dt = -3u

du/u = -3dt        |integrieren

ln u = -3t + C        |e^ 

u = e^{-3t + C} = De^{-3t}

Rücksubstitution

y(t) = 2 + u(t)

y(t) = 2 + D*e^{-3t}

Bei c) schaffe ich es im Moment nicht die Variablen zu separieren. Vgl. vielleicht mal damit: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+y%27%28t%29%2B+2y%28t%29%3D+exp+%28-t%29