Differenziere und berechne die Lösung von dT/dt = T(T-1) DGL, PBZ, Trennung der Variablen

Question

Aufgabe:

Differenziere und berechne die Lösung von

dT/dt = T(T-1)

Problem/Ansatz:

Hierbei handelt es sich um eine inhomogene, nicht lineare DGL 1. Ordnung.

Mein Problem mit der Aufgabe ist ich weiß nicht wie ich mit der Methode der Trennung der Variablen auf das Ergebnis komme. Zerlegen ist kein Problem, da komme ich auf:

dT/T(T-1) = dt

Ich weiß das man hier mit der Partialbruchzerlegung arbeiten soll, aber verstehe nicht wie man diese hier anwendet.

Answer 1

Hallo,

dT/dt = T(T-1)

Answer 2

Aloha :)

Du kannst die Differentialgleichung wie folgt umformen:$$\frac{dT}{dt}=T(T-1)\implies\frac{dT}{T(T-1)}=dt\implies\left(\frac{1}{T-1}-\frac{1}{T}\right)dT=dt$$und dann beide Seiten unabhängig voneinander integrieren:$$\ln|T-1|-\ln|T|=t+C\implies\ln\left|\frac{T-1}{T}\right|=t+C\stackrel{e^{\cdots}}{\implies}\left|\frac{T-1}{T}\right|=e^{t+C}=e^t\cdot e^C$$Wenn wir für Konstante \(C_1\coloneqq e^C\) auch negative Werte zulassen, entfallen die Betragszeichen:$$1-\frac1T=C_1\,e^t\implies1-C_1e^t=\frac1T\stackrel{\text{Kehrwerte}}{\implies}T=\frac{1}{1-C_1\,e^t}$$