Allgemeine Lösung und Lösungen der Anfangswertprobleme y ´ e ^ ( y ^2) = x/ y AW: a.) y (1) = -1

Question

hey! beschäfte mich nun mit Differentialgleichungen, hier meine Frage

Gesucht ist die Allgemeine Lösung  und Lösungen der Anfangswertprobleme

y ´ e ^{y ^2}   = x/ y      AW:  a.) y (1) = -1   b.) y(1)  = +1     c.) y(1) = 0

bin sehr dankbar bei Antworten. Wie gehe ich am besten vor bei diesem Beispiel ?

ganz liebe Grüße

Answer 1

Das ist doch eine separierbare DGL

y ´ e ^{y ^2}   = x/ y

(dy/dx) y e^ (y^2) = x

y * e^{y^2} dy  = x*dx       | ∫

1/2 * e^{y^2} = 1/2 * x^2 + C

e^ (y^2) = x^2 + D         | ln

y^2 = ln (x^2 + D)

y = ± √(ln (x^2 + D) ) mein Vorschlag für die Allgemeine Lösung.

AW:  a.) y (1) = -1 . MINUS vor der Wurzel zwingend.

-1 = -√(ln(1 + D))

1 = ln(1 + D)

1 + D = e  ==> D = e-1

y = -√(ln ( x^2 - 1+e))

b.) y(1)  = +1     . PLUS vor der Wurzel zwingend.

1 = √(ln(1+D))    ==> D = e-1

y = √(ln(x^2 + e-1))

c.) y(1) = 0

0 = ±√(ln(1 + D))    ---> D = 0

y= ±√(ln(x^2 ))

ohne Gewähr! Speziell die Doppellösung bei c) erstaunt mich. Unter welchen Bedingungen kann so was vorkommen?

Answer 2

Hallo

habs mal schnell gerechnet

b und c kannst Du dann m al selbst probieren

:-)