Gesucht ist die allgemeine Lösung der DGL y´ + y = 1

Question

y´ + y  = 1

wie lautet denn eigtl meine allgemeine Lösung ?

Bin mir noch sehr unsicher, bei diesen Beispielen Lg

Answer 1

Erst die homogene Lösung finden (rechte Seite Nullsetzen):

y' + y = 0

dy/dx + y = 0

dy/dx = - y

dy/y = - dx  (integrieren)

ln(y) + c1 = -x + c2

ln(y) = - x + c   (alles hoch e)

yh = e ^{- x + c}  = e ^{- x}  * e ^c  = c* e ^{- x}  (homogene Lösung)

Bei der partikulären Lösungen schauen wir uns die rechte Seite der DGL an und sehen eine 1.

Also ein Polynom 0. Grades. Wir stellen die allgem. Form dafür auf:

y = a*x⁰ = a

y' = 0

y und y' in die DGL einsetzen

0 + a = 1 -> a = 1  => yp = 1 (partikuläre Lösung)

Allgem. Lösung y = yh + yp = c* e ^{- x} + 1

Answer 2

oder auch so:

$$ y´ + y  = 1$$
$$ \frac{dy}{dx}  = 1-y$$
$$ \int \, \frac{dy}{1-y}  =\int 1 \, dx$$
$$\ln(1-y)=x+C$$
$$1-y=e^{x+C}$$