Lösung partieller Differenzialgleichung mit Randbedingungen: z_{xy} + z_{x} + x + y = 1 , z(x, 0) = 0 = z(0, y)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie schrittweise die Losung der folgenden partiellen Differenzialgleichung mit Randbedingungen

z_xy + z_x + x + y = 1 , z(x, 0) = 0 = z(0, y)

Bitte um ein Lösungsweg bzw. Vorgehensweise.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: partielle Differenzialgleichung mit Randbedingungen

Stichworte: differentialgleichung,partiell

Bestimmen Sie die Lösung der folgenden partiellen Differenzialgleichung mit Randbedingungen

                                z_xy+z_x+x+y = 1,        z(x,0)= 0 = z(0,y)

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Ja und? Wo ist das Problem?

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Siehe https://www.mathelounge.de/743515/losung-partieller-differenzialgleichung-randbedingungen

Answer 1

Aus der PDG $$ u_{xy} + u_x = 1 - x - y $$ folgt mit \( v = u_x \) $$ v_y + v = 1 - x - y $$ und diese Gleichung hat die Lösung

$$  v = C(x) e^{-y} -x -y +2 $$ mit einer noch unbekannten Funktion \( C (x) \)

Also gilt $$ u(x,y) = e^{-y} \int C(x) dx - \frac{x^2}{2} - x y +2 x + G(y) $$ mit noch unbekannter Funktion \( G(y) \)

Aus den Randbedingungen folgt $$ 0 = u(x,0) = \int C(x) dx - \frac{x^2}{2} + 2x + G(0) $$ Also $$ \int C(x) dx = \frac{x^2}{2} - 2x - G(0) $$ und damit $$ u(x,y) = e^{-y} \left( \frac{x^2}{2} - 2x - G(0) \right)  - \frac{x^2}{2} - x y +2 x + G(y) $$ Aus $$  0 = u(0,y) =  -G(0) e^{-y} + G(y) $$ folgt $$ G(y) =  G(0) e^{-y} $$ Alles eingesetzt ergibt

$$ u(x,y) = \left( e^{-y} - 1 \right) \left( \frac{x^2}{2} - 2x \right) - xy $$