Lösung partieller Differenzialgleichung mit Randbedingungen: zxy + zx + x + y = 1 , z(x, 0) = 0 = z(0, y)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie schrittweise die Losung der folgenden partiellen Differenzialgleichung mit Randbedingungen

z_xy + z_x + x + y = 1 , z(x, 0) = 0 = z(0, y)

Bitte um ein Lösungsweg bzw. Vorgehensweise.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: partielle Differenzialgleichung mit Randbedingungen

Stichworte: differentialgleichung,partiell

Bestimmen Sie die Lösung der folgenden partiellen Differenzialgleichung mit Randbedingungen

                                z_xy+z_x+x+y = 1,        z(x,0)= 0 = z(0,y)

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Ja und? Wo ist das Problem?

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Siehe https://www.mathelounge.de/743515/losung-partieller-differenzialglei…

Answer 1

Aus der PDG $$u_{xy} + u_x = 1 - x - y$$ folgt mit $v = u_x$ $$v_y + v = 1 - x - y$$ und diese Gleichung hat die Lösung

$$v = C(x) e^{-y} -x -y +2$$ mit einer noch unbekannten Funktion $C (x)$

Also gilt $$u(x,y) = e^{-y} \int C(x) dx - \frac{x^2}{2} - x y +2 x + G(y)$$ mit noch unbekannter Funktion $G(y)$

Aus den Randbedingungen folgt $$0 = u(x,0) = \int C(x) dx - \frac{x^2}{2} + 2x + G(0)$$ Also $$\int C(x) dx = \frac{x^2}{2} - 2x - G(0)$$ und damit $$u(x,y) = e^{-y} \left( \frac{x^2}{2} - 2x - G(0) \right) - \frac{x^2}{2} - x y +2 x + G(y)$$ Aus $$0 = u(0,y) = -G(0) e^{-y} + G(y)$$ folgt $$G(y) = G(0) e^{-y}$$ Alles eingesetzt ergibt

$$u(x,y) = \left( e^{-y} - 1 \right) \left( \frac{x^2}{2} - 2x \right) - xy$$