Integral mit partieller Integration: INT (x^n*(1-x)^n) dx

Question

Integral (x^n*(1-x)^n berechnen mit Obergrenze 1 und Untergrenze 0 mit partieller Integration.

Ich habe versucht die partielle Integration anzuwenden und habe Folgendes erhalten:

n/(n+1) * Integral (x^{n+1}*(1-x)^{n-1} dx.

Nun weiß ich allerdings nicht wie ich weiter vorgehen soll. Alle meine Ansätze haben wieder zur Ausgangsfunktion geführt. Wäre super wenn mir jemand helfen könnte

Answer 1

Du kannst ja etwas allgemeiner $$I(n,m)=\int_0^1x^n(1-x)^m\,dx$$ betrachten. Dann ergibt Deine Rechnung $$I(n,m)=\frac{m}{n+1}I(n+1,m-1)$$ und natuerlich ist $$I(n,0)=\frac{1}{n+1}.$$ Die Rekursion für \(I(n,n)\) kann man leicht aufloesen.