Es gibt 0 ≠α ∈ V mit φα(u)=v und φα(v)=u und f euklidischer raum

Question

Sei (V,f) ein Euklidischer Raum mit Norm. Für 0≠ α ∈V sein

φ_α(v)=v−(2f(α, v))/(f(α,α))α

die Spiegelung an α. Seien u,v ∈ V mit ||u||=||v|| und u≠v. Es gibt 0 ≠α ∈ V mit φ_α(u)=v und φ_α(v)=u.

Es ist

φ_α(v)=v−(2f(α, v))/(f(α,α))α = u

φ_α(u)=u−(2f(α, u))/(f(α,α))α = v

Damit

v−(2f(α, v))/(f(α,α))α- u =u−(2f(α, u))/(f(α,α))α -v

Doch wie forme ich das nun weiter um, um die Aussage zu zeigen?

Comments

Ach ja und bestimmt braucht man das hier irgendwo

||r-u||²=<r-u,r-u>=f(r,r)+2f(r,u)+f(u,u)

Answer 1

v−(2f(α, v))/(f(α,α))α- u =u−(2f(α, u))/(f(α,α))α -v

<=> 2v−(2f(α, v))/(f(α,α))α =2u−(2f(α, u))/(f(α,α))α    | *f(α,α)

<=> 2v*f(α,α)−2f(α, v)*α =2u*f(α,α)−2f(α, u)α

<=> 2(v-u)*f(α,α) =2f(α, v)*α−2f(α, u)α   | :2

<=> (v-u)*f(α,α) =f(α, v)*α−f(α, u)α

<=> (v-u)*f(α,α) =(f(α, v)−f(α, u))α

Und nun muss man ja schauen, ob es ein α≠0 gibt,

das diese Bedingung erfüllt. Und dabei

wohl auch  ||u||=||v|| benutzen, d.h. ja wohl

auch f(u,u) = f(v,v).  ???

Comments

Danke für deine Hilfe. Deine Rechnung konnte ich auch voll nachvollziehen. Doch wie finde ich nun das α?

Da α ≠ 0 gilt ist auch f(α,α) ≠ 0 sogar f(α,α)>0.

Außerdem ist

(v-u)*f(α,α) =(f(α, v)−f(α, u))α ⇔

(v-u)*f(α,α) =f(α, v-u)α

Und dann?

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Ah ich glaub ich habs dann muss gelten

α = v-u was ungleich 0 ist , da v ≠ u.

Da ist dann das ergebnis oder?

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Hört sich doch gut an.