Euklidischer Raum mit standardskalarprodukt

Question

Aufgabe:

Sei \( 0 \neq a \in \mathbb{R}^{n} \) ein Vektor im euklidischen Vektorraum \( \mathbb{R}^{n} \) mit Standardskalarprodukt.

Sei

\( H_{a}:=E-\frac{2}{a^{T} a} \cdot a \cdot a^{T} \in M_{n}(\mathbb{R}) \)

Zeigen Sie:

a) \( H_{a}=H_{a}^{T} \) und \( H_{a} H_{a}^{T}=E \).

b) \( H_{a} a=-a \).

c) Für alle \( b \in \mathbb{R}^{n} \) mit \( b \perp a \) gilt \( H_{a} b=b \).

d) \( \operatorname{det} H_{a}=-1 \)

\( H_{a} \) heißt Spiegelung bezüglich \( a \).

Answer 1

a = (a1,a2,a3,.....,an)^T also    (a ist ein Spaltenvektor mit n Komponenten)
also a^T * a =     Spaltenvektor * Zeilenvektor gibt eine Matrix:
a1^2      a1*a2     a1*a3   .................   a1*an
a2*a1      a2^2       a2*a3                     a2*an
.............................................................................
an*a1     an*a2     ............................       an^2 

Der Faktor   2 /  a^T * a    bleibt davor und E minus das Ganze wirkt sich nur auf die Hauptdiagonale aus:

H_a^T = (  E - (   2 /  a^T * a )   * a *  a^T   )  ^T
        =     E^T   - (   2 /  a^T * a )   * (a *  a^T ) ^T

das (   2 /  a^T * a ) ist eine Zahl, hat mit dem Transponieren nix zu tun und die Summanden werden einzeln transponiert und beim Produkt zusätzlich die Reigenfolge vertauscht

=  E - (   2 /  a^T * a )   * (a^T ^T   *  a^T )
= H_a  

Der Rest geht so ähnlich, musst einfach in die Definitionsgleichung für H_a einsetzen.