Man kann hier mit der Standardbasis starten: \(B=\{p_0, p_1, p_2, p_3\}\) mit \(p_i(x)=x^i\), und diese dann mit dem Gram-Schmidt-Verfahren in eine ONB umrechnen. Das geht wie mit Vektoren, nur hat man jetzt nicht das Vektorskalarprodukt, sondern das in der Aufgabe angegebene. Die Formeln, also der Algorithmus, sind exakt die gleichen. Ist natürlich etwas Rechnerei.
Die entstehenden Basis nennt man Legendre-Polynome (siehe Internet), am Ende solltest Du auf \(q_0(x)=\frac1{\sqrt2},\;q_1(x)=\sqrt{\frac32}x,\; q_2(x)=\sqrt\frac58(3x^2-1), \; q_3(x)=\frac12\sqrt{\frac72}(5x^3-3x)\) kommen.
