Zeige dass β(A, B) = det(A + B) - det(A) - det(B) eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform ist.

Question

Aufgabe:

Sei char(K) ≠ 2 und V = K^2x2.

Zeigen Sie, dass die Abbildung β : V x V → K,

β(A, B) = det(A + B) - det(A) - det(B) 
eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform ist, und finden Sie eine Orthogonalbasis von V bezüglich β. Also eine Basis (v₁,...,v₃₎ von V mit β(v_i, v_j) = 0 für alle i ≠ j.

Könnte jemand helfen?

LG Blackwolf

Answer 1

β(A, B) = det(A + B) - det(A) - det(B)
eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform ist,

Symmetrie ist wohl klar, weil

det(A + B) - det(A) - det(B)  = det(B + A ) - det(B) - det(A)

nicht-ausgeartet, also musst du zeigen:

V^⊥ = {0}  Sei also B ∈ V mit  β(A, B) = 0 für alle A ∈ V.

Also insbesondere für die Einheitsmatrix E gilt dann

         β(E, B) = 0

==> det(E+ B) - det(E) - det(B) = 0

==> det(E+ B) - 1  - det(B) = 0

==> det(E+ B) =1 + det(B)   #

Und sei nun $B= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

also $E+B= \begin{pmatrix} a+1 & b \\ c & d+1 \end{pmatrix}$

Dann liefert #               (a+1)(d+1) - bc =  1 +  ad-bc

                          <=>    d + a = 0 .

Mit $F= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

bekommst du entsprechend d-a = 0

Also hast du schon mal a=d = 0.

Und für c = b = 0 findest du sicher auch noch geeignete

Matrizen.