Wie Orthonormalbasis bezüglich phi bestimmen?

Question

Die Abbildung \( \phi: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sei gegeben durch
\( \phi(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{x}^{T}\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) \boldsymbol{y} . \)
(a) [3 Punkte] Begründen Sie, dass \( \phi \) ein Skalarprodukt auf \( \mathbb{R}^{2} \) ist.
(b) [3 Punkte] Bestimmen Sie \( \left\|\binom{1}{-1}\right\| \), wobei \( \|\cdot\| \) die durch \( \phi \) definierte Norm ist.
(c) [4 Punkte] Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis bezüglich \( \phi \) indem Sie das Schmidtshe Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis \( B=\left\{\binom{1}{-1},\binom{1}{0}\right\} \) anwenden.

Problem: Ich habe alles hinbekommen außer c)

Ich würde jz eigentlich einfach das Schmidtsche ortho... auf die Basis anwenden. Ich brauche aber nicht die Definition für phi zur Berechnung, oder?

Comments

Was hast du denn bei (b) herausbekommen? Zur Kontrolle:

\(\left| \left| \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right|\right|_{\phi} = 1\)

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das habe ich auch, danke

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beim erneuten rechnen komme ich nicht wieder drauf... ich habe:

\( \begin{array}{l}\sqrt{\binom{1}{-1} \cdot\binom{1}{-1}} \\ \sqrt{(1-1)^{T}\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)\binom{1}{-1}} \\ =\sqrt{(1-1)^{\top}\left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 1 & -1\end{array}\right)} \\ =\sqrt{2+1+1+1} \\ =\sqrt{5} \\\end{array} \)

Was könnte ich falsch gemacht haben?

Answer 1

Doch brauchst du, da steht ja "bzgl \(\phi\)". Du hast ja bereits gezeigt, dass \(\phi\) ein Skalarprodukt ist. Wende das Verfahren also mit genau diesem Skalarprodukt und nicht mit dem Standardskalarprodukt an.