Zeigen Sie, dass es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von phi gibt.

Question

Text erkannt:

Sei \( V=\mathbb{C}^{4} \) ein C-Vektorraum mit der Standardbasis \( S=\left\{e_{1}, \ldots, e_{4}\right\} \) und dem Standardskalarprodukt. Sei \( \phi \in \operatorname{End}(V) \) mit
$$ D_{S}(\phi)=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 0 & -i & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ i & 0 & 2 & -i \\ 1 & 0 & i & 2 \end{array}\right) $$
(a) Zeigen Sie, dass es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von \( \phi \) gibt.
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume von \( \phi \).
(c) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis \( T \) aus Eigenvektoren von \( \phi \).

Answer 1

siehe auch adjungierte Matrix ...

Für die EW erhält man

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&0&\left(\begin{array}{rrrr}2&0&-i&1\\0&3&0&0\\i&0&2&-i\\1&0&i&2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&3&\left(\begin{array}{rrrr}-1&0&-i&1\\0&0&0&0\\i&0&-1&-i\\1&0&i&-1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right) \)

λ=0, x2=0,  DimER=1

λ=3, bleibt nur die 1.Zeile DimER=3

und daraus die EV  

\(\small EV \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}-1&0&-i&1\\0&1&0&0\\i&0&1&0\\1&0&0&1\\\end{array}\right) \)

==> Gram-Schmidt (oder normieren, ortho EV(3), EV(4))

\(\small T:=\left(\begin{array}{rrrr}\frac{-1}{\sqrt{3}}&0&\frac{-i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\0&1&0&0\\\frac{i}{\sqrt{3}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-i}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}&0&0&\frac{2}{\sqrt{6}}\\\end{array}\right)\)