Orthonormalbasis, Endomorphismus, reelle Normalform

Question

$$\text{Sei } V=V_4(\mathbb R) \text{ der euklidische Raum mit dem Skalarprodukt. Sei}$$

$$A=  \left( {\begin{array}{cc}  1 & 1 & 1 & 1 \\  1 & 1 & -1 &-1 \\1 & -1 & 1 & -1 \\1 & -1 & -1 & 1  \end{array} } \right)$$

$$\text{ und sei } f:= l_A \text{ der Endomorphismus}  v \rightarrow A v $$$$\text{ Finden Sie eine Orthonormalbasis } \underline B \text{ von V, sodass } Mat^{\underline B}_{\underline B} (f)$$$$\text{ die reelle Normalform zu f ist}$$
Ich habe zunächst mal die Eigenwerte bestimmt (2,-2) und ihre algebraischen Vielfachheiten (für 2: 3 und für -2:1). Dann habe ich mit den Eigenwerten eine Matrix aufgestellt und davon eine Orthonormalbasis bestimmt. Ist das die Aufgabe? Bzw. was genau ist die reelle Normalform? Vielen Dank für alle Tipps und Hinweise!

Answer 1

Da die Matrix A symmetrisch ist, kannst du davon ausgehen, dass es bei der Normalform um das Diagonalisieren der Matrix geht.

Die Symmetrie von A gewährleistet, dass es eine ONB aus Eigenvektoren gibt, wobei Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten automatisch orthogonal sind.

Du bestimmst also eine Basis von Eigenvektoren, zum Beispiel:

$$\lambda = -2:\; (-1, 1, 1, 1)$$$$\lambda = 2:\;(1, 0, 1, 0),(1, 0, 0, 1),(1, 1, 0, 0)$$

Nun orthonormalisierst du und bist fertig.