Hallo Freunde!
Sei \(V\) ein euklidischer Vektorraum der Dimension \( n \) und sei \( f \in \operatorname{End}(V) . \) Zeigen Sie:
(a) Ist \( f \) schiefadjungiert und \( n \) ungerade, so gilt \( \operatorname{Kern}(f) \neq 0 \).
(b) Ist \( n=3 \) und \( f \) schiefadjungiert, so existiert eine Orthonormalbasis \( \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) von \( V \) derart dass gilt
$$ M_{\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)}^{\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)}(f)=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {a} & {0} \\ {-a} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right) $$
für ein geeignetes \( a \in \mathbb{R} \)
Problem/Ansatz:
Habe (a) hinbekommen, bei b hakt es. Da ker f =/= 0, gibt es ja auf jeden Fall einen Vektor v ungleich 0 mit f(v)=0. Dieser Vektor gehört auf jeden Fall in die Basis. Wie bestimme ich nun die restlichen zwei Vektoren?
Könnt ihr mir bitte helfen?
