Hier ist ein kombinatorischer Weg, der ausnutzt, dass gilt:$$\binom nk = \binom n{n-k}$$
Dann sieht die Summe also so aus (Beachte: \(k=0\) kann man weglassen): $$\sum_{k=1}^nk\binom nk\binom n{n-k}$$
Wir bilden jetzt die Anzahl der Komitees bestehend aus n Personen, die aus n Führungspersonen (F) und n Angestellten (A) gewählt werden können. Dabei muss eine der Führungspersonen Vorsitzender des Komitees sein.
Zählung 1:
Wähle \(k=1\ldots n \) aus F und davon den Vorsitzenden: \(k\binom nk\)
Wähle die restlichen \(n-k\) aus A: \(\binom n{n-k}\)
Insgesamt: \(\displaystyle \sum_{k=1}^nk\binom nk\binom n{n-k}\)
Zählung 2:
Wähle zunächst einen Vorsitzenden aus F: \(n\)
Wähle aus den restlichen \(2n-1\) die weiteren \(n-1\) Personen: \(\binom {2n-1}{n-1}\)
Insgesamt: \(n\binom {2n-1}{n-1}\)
Zusammen: $$\sum_{k=1}^nk\binom nk\binom n{n-k} =n\binom {2n-1}{n-1} $$
2. Weg mit Koeffizientenvergleich:
$$(1+x)^n = \sum_{i=0}^n\binom ni x^i \Rightarrow nx(1+x)^{n-1}= \sum_{i=0}^ni\binom ni x^i$$
Multipliziere die beiden Reihen:
$$nx(1+x)^{2n-1} = \sum_{k=0}^{2n}\left(\sum_{i=0}^k i\binom ni\binom n{k-i}\right)x^k = ...$$ $$ ...= n\sum_{k=1}^{2n}\binom{2n-1}{k-1}x^k$$
Koeffizientenvergleich für \(k=n\) gibt:
$$\sum_{i=0}^n i\binom ni\binom n{n-i} = n\binom{2n-1}{n-1}$$
Fertig.
