Explizite Formel aufstellen für bn. bo:=1 , bn+1:=2(summe_(i=0)^n bi.

Question

Hallo , Die Angabe ist im Bild ,

Ich würde gerne wissen wie man hier eine Formel auftstellen kann? Bin über jede noch so kleine Hilfe dankbar.

Gruß

Answer 1

Explizite Formel aufstellen für bn. 

bo:=1 , bn+1:=2(summei=0^n bi.) 

b1 = 2*b0 = 2

b2 = 2(1+2) = 6

b3= 2(1+2+6) = 18

b4= 2(1+2+6+18) = 54

Weil immer noch mit 2 multipliziert wird, dürfte 2^n in der expliziten Formel drinn stecken. 

2^0 = 1                    4^0= 1

2^1 = 2                  4^1 = 4

2^2 = 4                  4^2 = 16

2^3 = 8                4^3 = 64

2^4 = 16            4^4 = ....

Nun eine Zeit lang rumspielen, bis du etwas Passendes findest. 
https://oeis.org/search?q=1%2C2%2C6%2C18%2C54+&sort=&language=&go=Search
bringt die Vermutung ao=1 und an=2*3^{n-1} für n≥1 und viele weitere Vermutungen.
Teste das mal. 

bo:=1 , bn+1:=2(summei=0ⁿ bi.)  

b1 = 2*b0 = 2.         3^0 = 1

b2 = 2(1+2) = 6           3^1 = 3

b3= 2(1+2+6) = 18            3^2 = 9

b4= 2(1+2+6+18) = 54         3^3 = 27

b5=2(1+2+6+18+54) = 2(27+54) = 2*3*27= 2*3^4 passt auch. 

Sobald du überzeugt bist, mach einen Induktionsbeweis. 

Comments

Dankesehr Lu !

ja ich hab mir das ein bisschen überlegt nur ist es schwer auf das zu kommen , das es dann 2*3^n-1 ist .

zb. die Klammer die du setzt ergeben immer ein VF von 3 , bzw. eine Potzenz höher wenn 3 die basis ist , also 3^1,3^2,3^3 .. führt auf 3^n. für das erste Glied würde das aber nicht passen.

Zu dem b1 was 2 mal b0 ist ,=2 kann das nur 3^0 sein und das ist dann 3^1-1 , wobei man fortlaufend sagen kann die linke 1 davon ist der Index was dazuführt das man 3^n-1 hat.

Um das zu beweisen würd ich Induktion machen wi du es mir vorgeschlagen hast,

Annahme b0:=1,bn+1:=2*Summe( i=0 bis n) bi , zz gilt bn= 2*3^n-1 für Alle n>=1

IA) Linke Seite: n=1 ,2*1=2 , Rechte Seite 2*3^1-1=2 passt

IS) n+1>n?

Hab ich zwei Fragen geht der Schritt von n+1 auf n , bzw. passt das was ich angenommen habe?

oder muss ich das ein bisschen anders angehen , bn+1 umformen mit summenindex verschiebung auf bn und das gleich der Formel 2*3^n-1 setzen und das dann beweisen?

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Definiere: ao=1 und an=2*3^n-1 für n≥1, so hast du ao auch definiert.

Bei der Verankerung a1 explizit ausrechnen. Hast du gemacht. 

Induktionsschritt: Von n -> n+1 ist schon sinnvoll. 

Achte darauf die Exponenten zu klammern, sonst sieht das in diesem Editor falsch aus. 

Du meinst ao=1 und an=2*3^n-1 für n≥1 und nicht ao=1 und an=2*3ⁿ-1 für n≥1.

Eingabe: 2*3^ (n-1) ohne Abstand nach dem ^Caretzeichen. 2*3^{n-1} 

"nur ist es schwer auf das zu kommen , das es dann 2*3^n-1 ist ."

Wenn du schön rechnest, künntest du vielleicht du merken, dass du in der Klammer immer eine Potenz von 3 hast. 

Ich habe aber auch den Link in der andern Antwort benutzt, da ich nicht weiter suchen wollte. 

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Ah ok ,das mit der Potenz von 3 hab ich erkannt  bei dem Aufschreiben von b0 , b1,b2.....=)
Ok dann probier ich das gleich mal .
Also der Schritt , von n--> n+1 , zz gilt an+1=2*3^n
Wie kann ich das am besten anschreiben?es müsste irgendwie stehen 2*3^{n-1}*3=2*3^n

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Voraussetzung 

bn = 2* summe(k=0)^{n-1} bk   = 2*3^{n-1} 

Behauptung

bn+1 = 2* summe(k=0)^{n} bk   = 2*3^n

Beweis:

bn+1 = 2* summe(k=0)^{n} bk

= 2*( summe(k=0)^{n-1} bk  ) + 2bn  

= 2*3^{n-1} + 2*2*3^{n-1}

=2*3^{n-1}*1 + 2*3^{n-1}*2

= 2*3^{n-1} (1+2) 

=2*3^{n-1}*3 

= 2*3^n 

Ich hoffe das stimmt so. Rechne selbst noch genau nach. 

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Bitte. Gern geschehen! 

Answer 2

Es gibt eine Seite, die weiss alles ueber Folgen ganzer Zahlen, was man ueberhaupt wissen kann. Fuer Deine Folge guckst Du hier:

https://oeis.org/A025192

Comments

Hm ok hast du da für bn+1 die angegebene summe eingegeben ?

Mein Englisch ist leider nicht gut und daher tu ich mir schwer  das nachvollziehen bzw. selbst so etwas herzuleiten .

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Sehr schöner Link! Danke.