Hier ist ein einfaches kombinatorisches Modell mit Boxen und Kugeln.
Wir haben \(n\) (unterscheidbare, z. Bsp. nummerierte) leere Boxen und \(l\) Kugeln. Von den \(l\) Kugeln sind \(\color{blue}{k}\) blau und \(\color{red}{l-k}\) sind rot. Die Kugeln einer Farbe sind jeweils ununterscheidbar.
Wir wollen jetzt wissen, auf wie viele verschiedene Weisen kann man jeweils alle \(l\) Kugeln in die Boxen legen, sodass in jeder Box höchstens eine Kugel ist.
Zählung 1:
Wähle von den \(n\) Boxen \(\color{blue}{k}\) Stück für blaue Kugeln: \(\binom nk\)
Wähle von den restlichen \(n-k\) Boxen \(\color{red}{l-k}\) für die roten Kugeln: \(\binom {n-k}{l-k}\)
Insgesamt: \(\binom nk\binom {n-k}{l-k}\)
Zählung 2:
Wähle von den \(n\) Boxen zunächst \(l\) Boxen für die \(l\) Kugeln: \(\binom nl\)
Wähle nun von diesen \(l\) Boxen \(\color{blue}{k}\) Stück für blaue Kugeln: \(\binom lk\)
(die roten Kugeln kommen in die restlichen \(\color{red}{l-k}\) der l gewählten Boxen)
Insgesamt: \(\binom nl\)\(\binom lk\)