Bestimme \operatorname{Ker} f !

Question

Sei \( F \) der Vektorraum aller Polynome in \( x \) mit reellen Koeffizienten. Die Abbildung \( f: F \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) sei gegeben durch
\( \forall t(x) \in \mathbb{R}[x] \quad f(t(x)):=\left(t(0), t^{\prime}(0), t^{\prime \prime}(0), t^{\prime \prime \prime}(0)\right)^{T} . \)
(b) Bestimme \( \operatorname{Ker} f \) !

ich weiß dass f(t(x)) = 0 sein muss für alle t(x) in F aber was muss ich dann machen?

Answer 1

ich weiß dass f(t(x)) = 0 sein muss für alle t(x) in F aber was muss ich dann machen?

Nein. Achte bitte genau auf deine Formulierung. Wäre dies der Fall, so wäre \(f\) die Nullabbildung. Es gilt \(f(t(x))=0\) für alle \(t\in \operatorname{ker}(f)\). Das ist ein Unterschied.

Du suchst also alle Polynome mit reellen Koeffizienten, so dass \(f(t(x))=0=(0, 0, 0, 0)^T\) gilt. Daraus folgt, dass \(t(0)=t'(0)=t''(0)=t'''(0)=0\) gelten muss. Welche Polynome erfüllen das denn? Das ist gar nicht so schwer, wenn man mal ein paar einfache Beispiele durchgeht. Fange mal mit den Monomen \(1\), \(x\), \(x^2\), \(x^3\), \(x^4\), ... an.

Comments

dh solche Polynome können als Vielfache von x^4 und höhergraden Termen geschrieben werden, da diese beim Ableiten mindestens dreimal nach x=0 verschwinden?

\( \operatorname{Ker} f = \{ t(x) \in \mathbb{R}[x] \mid t(x) = x^4 q(x) \text{ für ein } q(x) \in \mathbb{R}[x] \} \)

wäre das eine richtige lösung?

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Ja, sieht gut aus.