Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von \operatorname{Kern} A .

Question

Aufgabe 9 (a) Berechnen Sie die allgemeine Lösung des Gleichungssystems \( A x=b \) :
\( A=\left(\begin{array}{ccccc} 2 & 8 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & -2 & 0 \\ -1 & -9 & -1 & -10 & -2 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c} -16 \\ -6 \\ 20 \end{array}\right) \)
(b) Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von \( \operatorname{Kern} A \).

Problem:

Ich habe die Aufgabe 9a verstanden aber ich verstehe nicht, wie ich die Dimension von A bestimmen kann und die Basis vom Kern, mein Ansatz war Die Matrix A nach dem Gaußschema zu lösen, allerdings wusste ich nicht weiter

Comments

Mach Dir die Begriffe erstmal gründlich(!) klar. Es gibt keine Dimension von A (ist daher auch nicht gefragt). Und man kann auch keine Matrix lösen (auch nicht mit dem Gauß-Schema). Das saubere Formulieren der Fragen ist meist schon die halbe Lösung.

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Meine erweiterte Koeffizientenmatrix in Zeilen-Stufen-Form wäre

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 1 & -8 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)$$

Answer 1

Der Kern einer Matrix A ist die Menge aller Vektoren x, für die gilt: Ax = 0 , also die Lösungen des homogenen Gleichungssystems.

Hilft Dir das erst einmal weiter?

Die Definition von Dim solltest Du in Deinen Unterlagen finden.

Comments

Ja, ich versuche es später nochmal aber die Definition von der dim hab ich nicht so ganz verstanden

Eine andere Frage, die nicht zur Aufgabenstellung passt:

Bei der Aufgabe wurden zwei Spaltenvektoren mit der gleichen Dimension multipliziert, aber ich verstehe nicht wieso das funktioniert, das hat der Professor so aufgeschrieben, ist es nicht ein Dimensionsfehler?

Text erkannt:

Aufgabe 8 Es seien \( \vec{a}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{c}s \\ 1 \\ s-1\end{array}\right), \vec{c}=\left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \vec{d}=\left(\begin{array}{c}1-t \\ -t \\ 2 t+3\end{array}\right) \).
(a) Bestimmen Sie alle \( s \in \mathbb{R} \), so dass \( \varphi(\vec{a}, \vec{b})=\frac{3}{4} \pi \).
(b) Berechnen Sie einen Einheitsvektor \( \vec{e} \), der orthogonal zu \( \vec{a} \) und \( \vec{c} \) ist, so dass das Tripel ( \( \vec{a}, \vec{c}, \vec{e} \) ) rechtshändig orientiert ist.
(c) Für welche \( t \in \mathbb{R} \) liegen die Vektoren \( \vec{a}, \vec{c}, \vec{d} \) in einer Ebene?

Text erkannt:

a) \( (\vec{a}, \vec{c}, \vec{a}) \) is uiar Ebenc \( \Leftrightarrow \frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}]}{(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{d}}=0 \) (ywatarolule)
\( \begin{array}{l} \Leftrightarrow\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} 1-t \\ -t \\ 2 t+3 \end{array}\right)=-1+t-4 t+2 t+3=-t+2=0 \\ \Rightarrow t=2 \end{array} \)

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Dafür solltest Du eine neue Aufgabe stellen. (Es geht hier u.a. um ein sogenanntes Spatprodukt). Welche Produkte von Vektoren kennst Du?

zu oben: Der Kern ist ein Vektorraum und hat somit auch eine Dimension (die unter b) gesucht ist).

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Text erkannt:

b.) \( \begin{aligned} & \left(\begin{array}{ccccc|c}2 & 8 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ -1 & -9 & -1 & -10 & -2 & 0\end{array}\right) \cdot 2 \\ \sim & \left(\begin{array}{ccccc|c}2 & 8 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 6 & 2 & -4 & 0 & 0 \\ -2 & -18 & -2 & -20 & -4 & 0\end{array}\right) 1-I \\ \sim & \left(\begin{array}{ccccc|c}2 & 8 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -4 & -1 & 0 \\ 0 & -10 & 0 & -20 & -3 & 0\end{array}\right) 1 \cdot 5 \\ \sim & \left(\begin{array}{ccccc|c}2 & 8 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & 0 & -20 & -5 & 0 \\ 0 & -10 & 0 & -20 & -3 & 0\end{array}\right) 1+I I \\ \sim & \left(\begin{array}{ccccc|c}2 & 8 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & 0 & -20 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -8 & 0\end{array}\right)\end{aligned} \)

Dann hier zur ursprünglichen Aufgabe, hab das jetzt so gemacht, aber wie soll ich die basis herausfinden und wie die dimension?

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Falls das so stimmt (hab ich nicht nachgerechnet), dann bestimme nun die Lösungsmenge. Das ist der kern. Die Dimension des Kerns ist die Anzahl der freien Parameter in der Lösungsmenge. Zur Basis kommen wir danach.

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Hab das jetzt gemacht, aber irgendwie ist das nicht richtig, der professor hat dir ergebnisse von a genommen, aber ich dachte, dass a und b nichts miteinander zu tun haben

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \text { b) }\left(\begin{array}{ccccc|c} 2 & 8 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ -1 & -9 & -1 & -10 & -2 & 0 \end{array}\right) \cdot 2 \\ \sim\left(\begin{array}{ccccc|c} 2 & 8 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 6 & 2 & -4 & 0 & 0 \\ -2 & -18 & -2 & -20 & -4 & 0 \end{array}\right) 1-I \\ \sim\left(\begin{array}{ccccc|c} 2 & 8 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -4 & -1 & 0 \\ 0 & -10 & 0 & -20 & -3 & 0 \end{array}\right) 1.5 \\ -\left(\begin{array}{ccccc|c} 2 & 8 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & 0 & -20 & -5 & 0 \\ 0 & -10 & 0 & -20 & -3 & 0 \end{array}\right) 1+\text { II } \\ \sim\left(\begin{array}{ccccc} x_{1} & x_{2} & x_{5} & x_{4} & x_{5} \\ 2 & 8 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -10 & 0 & -20 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -8 \end{array}\right) \\ \operatorname{Rang}(\lambda)=3 \end{array} \)

Bestirming der freien Parameter:
\( \begin{array}{l} 5-3=2 \\ \text { III. }-8 x_{5}=0 \\ \text { II. }-10 x_{2}-20 t=01+20 t \\ \text { für } x_{4}=t \\ \Leftrightarrow x^{2}=0 \\ -10 x_{2}=20+1:(-10) \\ x_{3}=3 \\ \text { I. } 2 x_{1}+8 x_{2}+2 x_{3}=0 \\ x_{2}=-10 t \\ \Leftrightarrow 2 x_{1}+8 \cdot(-10 t)+2 s=0 \\ \Leftrightarrow 2 x_{1}-80 t+2 s=0 \\ \Leftrightarrow 2 x_{1}=80 t-2 \mathrm{~s} \\ x_{1}=40 t-s \end{array} \)
\( \text { Sösinguestor: } \vec{x}=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{1} \\ x_{5} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 40+-3 \\ -10 t \\ 5 \\ t \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 40 \\ -10 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)

Text erkannt:

b) \( \operatorname{diw} \) kem \( A=2 \),

Basio pan \( k \) Keni A ist \( \left.\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}8 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)\right) \).

Hier ist nochmal die 9a:

Text erkannt:

\( 5-3=2 \text { freie Parameter } \)
wölle für \( x \) :
\( x_{4}=t \)
\( x_{3}=s \)
\( \begin{array}{l} \text { III. } 2 x_{5}=4 \mid: 2 \\ x_{5}=2 \\ \text { II. } 10 x_{2}+20 x_{4}+5 x_{5}=-20 \\ \Leftrightarrow 10 x_{2}+20 t+10=-20 \mid-10 \cdot-20 t \\ \Leftrightarrow 10 x_{2}=-30-20 t \quad \mid: 10 \\ \Leftrightarrow x_{2}=-3-2 t \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \text { III. } 2 x_{1}+8 x_{2}+2 x_{3}+x_{5}=-16 \quad \Leftrightarrow 2 x_{1}=24+16 t-2 s-2-16 \\ \Leftrightarrow 2 x_{1}+8 \cdot(-3-2 t)+2 s+2=-16 \quad \Leftrightarrow 2 x_{1}=6+16 t-2 s \quad 1: 2 \\ \Leftrightarrow 2 x_{1}-24-16 t+2 s+2=-16 \end{array} \quad \begin{array}{l} x_{1}=3+8 t-s \end{array} \)
\( \Rightarrow \vec{x}=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3+8 t-5 \\ -3-2 t \\ 5 \\ t \\ 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -3 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 8 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)
\( \begin{array}{l} \text { Nr.9.) a.) } A x=b \\ \left.\left(\begin{array}{rrrrr|r} 2 & 8 & 2 & 0 & 1 & -16 \\ 1 & 3 & 1 & -2 & 0 & -6 \\ -1 & -9 & -1 & -10 & -2 & 20 \end{array}\right) \right\rvert\, \cdot 2 \\ \left.\sim\left(\begin{array}{ccccc|c} 2 & 8 & 2 & 0 & 1 & -16 \\ 2 & 6 & 2 & -4 & 0 & -12 \\ -2 & -18 & -2 & -20 & -4 & -40 \end{array}\right) \right\rvert\, \begin{array}{l} 1+I \\ 1+I \end{array} \\ \left.\sim\left(\begin{array}{ccccc|c} 2 & 8 & 2 & 0 & 1 & -16 \\ 0 & -2 & 0 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & -10 & 0 & -20 & -3 & 24 \end{array}\right) \right\rvert\, \cdot(-5) \\ \sim\left(\begin{array}{ccccc|c} 2 & 8 & 2 & 0 & 1 & -16 \\ 0 & 10 & 0 & 20 & 5 & -20 \\ 0 & -10 & 0 & -20 & -3 & 24 \end{array}\right)_{1+\text { II }} \\ \sim\left(\begin{array}{ccccc|c} x_{1} & x_{2} & x_{2} & x_{4} & x_{5} & -16 \\ 2 & 8 & 2 & 0 & 1 & -16 \\ 0 & 10 & 0 & 20 & 5 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right) \quad \text { Rang } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \operatorname{Rang}(t)=3=\operatorname{Rang}(A \mid \vec{b})<5 \\ R_{\text {ang }}=3 \end{array} \)

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Was ist denn nun Dein eigenes Ergebnis für Basis des kerns und dessen Dim, basierend auf Deiner Rechnung?

Es geht nicht darum, was Dein Prof rechnet, sondern dass Du selbst richtig rechnest.

Die Umformungen an der Matrix sind natürlich in a) und b) dieselben, das solltest Du gemerkt haben.

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die erste rechnung ist meine

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Das war mir klar, ich wiederhole meine Frage:

Was ist denn nun Dein eigenes Ergebnis für Basis des kerns und dessen Dim?

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also die basis ist bei mir t(40 -10 0 1 0) uns s(-1 0 1 0 0), sonst weiß ich nicht, wie ich die dimension bilden kann

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Die Basis besteht aus zwei konkreten Vektoren, welchen? Zur Dim hab ich oben schon was gesagt, außerdem kannst Du sie ablesen, wenn Du eine Basis hast.

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sorry, ich meinte die Basis weiß ich nicht aber die dimension ist 2 und der kern ist das was ich geschrieben hatte s und t

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"das was ich geschrieben habe"?! Der Kern ist eine Menge von Vektoren, gibt die korrekt an (es muss eine Menge sein). Dann schau nochmal die Def. von "Basis" nach, insb. taucht da der Begriff Erzeugendensystem (vermutlich) auf. Dann vergleiche mit dem kern.

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wir haben 2 mengen

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Eine Matrix hat nur einen kern, also kern(A)={...

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ich verstehe nichts:(

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Das gibt keinen Ansatzpunkt für Hilfe. Hast du die Begriffe, Schreibweisen, Beispiele aus der Vorlesung gründlich durchgearbeitet? Siehe Antwort ganz oben.