Löse die folgende Gleichung nach x auf, mit e-Funktionen

Question

Löse die folgende Gleichung nach x auf:

e^(x+1) -3*e^(-x)= 0

Ich weiß einfach nicht wie ich vorgehen soll

Answer 1

Multipliziere die Gleichung mal mit \(\mathrm{e}^x \). Denk an die Potenzgesetze.

Comments

dann bleibt nur noch e^(x+1) -3 übrig, richtig?

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Nicht ganz. Auch den ersten Summanden musst du multiplizieren.

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\( e^{x+1} \) musst du auch mit \(e^x\) multiplizieren.

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stimmt, also

e^(2x+1) -3 = 0 |+3

e^(2x+1) = 3 | ln()

ln(2x+1) = ln(3) | : ln(3)

ln(2x+1)/ln(3) =0 

≈2,77

ist das richtig?

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Nein, ln und e-funktion heben sich links auf,

Deshalb hast Du sie doch eigentlich ins Spiel gebracht

Answer 2

e^(x + 1) - 3·e^(-x) = 0
e·e^x - 3/e^x = 0

Substituiere z = e^x

e·z - 3/z = 0

Weißt du, wie man diese Gleichung löst, wenn nicht ...

e·z - 3/z = 0
e·z^2 - 3 = 0
e·z^2 = 3
z^2 = 3/e
z = √(3/e) [Warum kann z nicht negativ sein?]

x = ln(√(3/e)) ≈ 0.04931

Comments

dankeschön, ich hab irgendwie was falsch gemacht oben, weil bei mir 2,77 raus kam, weißt du wieso?

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Probier es mal so:

e^(2x+1) = 3 | ln()
2x+1 = ln(3)

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Danke vielmals

Answer 3

Weg ohne Substitution:

\(e^{x+1} -3\cdot e^{-x}= 0\)

\(e^{x+1} -\frac{3}{e^{x}}= 0\)

\(e\cdot e^{x} -\frac{3}{e^{x}}= 0|\cdot e^{x}\)

\(e\cdot e^{2x} -3= 0|+3\)

\(e\cdot e^{2x} =3|:e\)

\( e^{2x} =\frac{3}{e}|±\sqrt{~~}\)

1.)

\( e^{x} =\sqrt{\frac{3}{e}}   |\ln\)     

\( x\cdot \ln (e) =\ln\sqrt{\frac{3}{e}} \)     mit \( \ln (e) =1\)

\( x_1=\ln\sqrt{\frac{3}{e}} \)

2.)

\( e^{x} =-\sqrt{\frac{3}{e}}  \) → keine Lösung, da  \( \ln(-\sqrt{\frac{3}{e}})  \) nicht definiert

Comments

Der Weg steht schon in der Antwort von apfelmännchen, nur wurde da am Ende nicht künstlich verkompliziert.

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Natürlich ist das bei mir wieder kompliziert! Mache ich mal etwas ausführlicher so ist es auch wieder nicht in Ordnung.

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Der Unterschied zwischen ausführlich und kompliziert ist Dir anscheinend auch nicht klar.

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Schlimmer finde ich, dass mein gegebener Ansatz einfach wieder vorgerechnet wird, obwohl die Rechnung vom FS bereits durchgeführt wurde (siehe Kommentare), abgesehen von einem Rechenfehler, der dort aber auch schon korrigiert wurde.

Man darf dem FS ruhig mal etwas mehr zutrauen und muss ihnen nicht immer die Arbeit abnehmen, nur um seine eigenen Fähigkeiten unter Beweis zu stellen. Dieses Beispiel zeigt, dass der Ansatz in meiner Antwort für den FS vollkommen ausreichend war.

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Es gibt aber auch viele andere Fragende, die mit einem Hilfsfatz noch nicht klarkommen, denen nun ausführliche Antworten hilfreicher sind.

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Mag sein, nur sollte niemand auf Deine merkwürdige Art und Weise diese und alle anderen Deiner ‚Lösungen‘ rechnen.

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denen nun ausführliche Antworten...

Du hast Dir den Unterschied zwischen ausführlich und kompliziert immer noch nicht klargemacht.