Löse folgende Gleichung nach x auf y=e^x/(e^x+1)

Question

y=e^x/(e^x+1)

Ich dachte zuerst ich müsse mit Umkehrfunktion auf die Gleichung nach x kommen aber daraus wurde nichts. :/

Comments

Sicher, dass das die richtige Gleichung ist? Es gibt keine Lösungen.

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Sicher, dass es keine Lösung gibt?

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Keine Eindeutige. Außer vielleicht \(x=-\infty\).

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Es gibt eine Lösung in Abhängigkeit von \(y\), das ist schon klar.

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y ist vorerst einfach ein Parameter. Vgl. Antwort von -Wolfgang-

Answer 1

Hallo Nama,

y=e^x / (e^x+1)  | * (e^x+1)

y* (e^x+1) = e^x

y*e^x + y = e^x  |  - e^x | - y

y*e^x - e^x = - y   |  links e^x ausklammern

e^x * (y-1) = - y  | : (y-1) ≠ 0 , sonst keine Lösung

e^x = -y /(y-1)  | auf beiden Seiten ln anwenden ( für y/(1-y) >0 , ln(e^a ) = a ) 

x = ln( -y / (y-1) ) = ln( y / (1-y) )   

Gruß Wolfgang

Comments

Umstellung gelingt doch !

Das Argument des ln darf voraussichtlich nicht negativ sein.

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@Nama

Ergänze noch 0<y<1

neben

x = ln( -y / (y-1) ) = ln( y / (1-y) )   

falls du keine komplexen Zahlen herausbekommen solltest.

0<y<1 bekommst du, wenn du noch die Umgleichung  y / (1-y) > 0 löst.

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 0<y<1  [ bzw. y /(y-1) > 0 ]  ist gemäß Funktionsgleichung für alle x∈ℝ erfüllt und steht daher besser in der Zeile

e^x = -y /(y-1)  | auf beiden Seiten ln anwenden ( für y/(1-y) >0 , ln(e^a ) = a )

In der letzten Zeile liest sie sich wie eine Bedingung

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Danke sehr ‍♀️ hab ich gemacht:D

Answer 2

y=e^{x}/(e^{x}+1)

y=1-1/(e^{x}+1)

1/(e^{x}+1)=1-y

e^{x}+1=1/(1-y)

e^{x}=1/(1-y)-1

x=ln(1/(1-y)-1)

Answer 3

Also wenn die Nullstellen gefragt sind, dann musst du y=0 setzen.

$$ 0=\frac{e^x}{e^x+1}\quad|\cdot(e^x+1)\\0=e^x\quad |\ln(.)\\ \ln(0)=x=n.a.n $$ Das ist ein Widerspruch, da 0 nicht im Definitionsbereich des ln liegt! Deine Gleichung hat also keine Nullstellen. n.a.n=,,not a number''

Für beliebiges y sieht die Lösung so aus:

$$ \begin{aligned}  y&=\frac{e^x}{e^x+1}&\quad &|\cdot(e^x+1) \\y\cdot (e^x+1)&=e^x &\quad &|Am\\y\cdot e^x+y&=e^x&\quad &|-y\cdot e^x\\y&=e^x\cdot (1-y) &\quad &|:(1-y)\\e^x&=\frac{y}{1-y} &\quad &|\ln(.)\\x&=\ln\Big(\frac{y}{1-y}\Big),\quad 0 < y<1 \end{aligned}$$