Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis bezüglich derer die Abbildungsmatrix von f Diagonalgestalt hat

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine lineare Abbildung f : R3 → R3 mit der Funktionsvorschrift
f (x, y, z) = (3x − y + z, −x + 2y, x + 2z).
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis bezüglich derer die Abbildungsmatrix von f Diagonalgestalt hat
und geben Sie die entsprechende Transformations- und Diagonalmatrix an.

Moin,

in meiner Hausübung habe ich oben stehende Aufgabe gestellt bekommen. Die einzelnen Dinge (orthogonalbasis bestimmen, transformieren etc.) sind mir geläufig, nur verwirrt mich die Aufgabenstellung so sehr, das ich keinen Anfang weiß. Eventuell hat ja einer eine Idee.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn du dir die Abbildungsmatrix \(F\) anschaust:$$\small f(x;y;z)=\begin{pmatrix}3x-y+z\\-x+2y\\x+2z\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}3 & -1 & 1\\-1 & 2 & 0\\1 & 0 & 2\end{array}\right)}_{=F}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$stellst du fest, dass sie symmetrisch ist. Die Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix stehen orthogonal zueinander. Du brauchst also nur die Eigenvektoren zu bestimmen und zu normieren.

Zur Kontrolle:

Die Eigenwere sind: \(4\), \(2\) und \(1\).

Die Eigenvektoren sind: \((2;-1;1)^T\), \((0;1;1)^T\) und \((-1;-1;1)^T\)

Die Egenvektoren musst du nur noch auf die Länge \(1\) normieren.

Kriegst du den Rest alleine hin? Falls nicht, bitte einfach nachragen.

Comments

Vielen Dank. Genau das hatte ich schonmal gemacht und verworfen weil ich dachte, es sei falsch, da man ja die orthogornalbasis z. B. via gram Schmidt bestimmt. Der Aufgabenteil mit der Transformations und Diagonalmatrix ist sicherlich auf die Abbildmatrix bezogen, oder?

---

Ja, du erhältst die Transformationsmatrix, indem du die normierten Eigenvektoren als Spaltenvektoren einträgst:$$T=\left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{\sqrt6} & 0 & -\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]-\frac{1}{\sqrt6} & \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt3}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt6} & \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt3}\end{array}\right)$$

Damit ist dann$$T^{-1}\cdot F\cdot T=\begin{pmatrix}4 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

Answer 2

Hallo

Schreib die Matrix auf die f für die Standardbasis bildet, dann  bestimme die Eigenvektoren und daraus die Diagonalmatrix.

Gruß lul