Orthonormalbasis, bezüglich der die darstellende Matrix von σw Diagonalgestalt; Diagonalmatrix bestimmen

Question

Aufgabe:

Es sei \(V\) der euklidische Vektorraum \(\mathbb{R}^n\) mit Skalarprodukt \(\langle .,. \rangle\) und der von diesem Skalarprodukt induzierten Norm \(\|.\|\). Weiter sei \(w \in V\) ein Vektor mit der Länge \(1\), also \(\|w\| = 1\).

Die Abbildung \(\sigma_w:\space V\to V\) sei gegeben durch: \(\sigma_w(v) = v-2\cdot \langle v, w\rangle\cdot w\).

a) Es sei \(n = 2\) und \(\langle .,.\rangle_2\) das Standardskalarprodukt. Beschreiben Sie \(\sigma_w\) geometrisch!

b) Zeigen Sie, dass \(\sigma_w\) eine Isometrie ist!

c) Zeigen Sie: Aus \(v \perp w\) folgt \(\sigma_w(v)=v\).

d) Zeigen Sie, dass es eine Orthonormalbasis gibt, bezüglich der die darstellende Matrix
von \(\sigma_w\) Diagonalgestalt hat. Geben Sie die Diagonalmatrix an!

Problem/Ansatz:

Guten Morgen, liebe Mitglieder. Ich habe mit dem Teil d) der obigen Aufgabe Probleme, d. h. ich weiß nicht, wie ich ansetzen soll. Die Teile a) bis c) sind kein Problem, aber bei d) komme ich leider auf keine Idee. Ich wäre denkbar, wenn mir jemand etwas Licht ins Dunkel bringen könnte.

Answer 1

Hallo :-)

Probiere mal folgenden Ansatz: Wie müssen die Vektoren von der Eigenschaft sein, damit die Koordinanten ihrer Bilder fast alle die Einheitsvektoren ergeben? Betrachte vorallem den störenden Term \(\langle v,w\rangle\) deiner Abbildung (vgl. Aufgabenteil c) ). Wann verschwindet dieser? Du hast bereits einen normierten Vektor \(w\) vorgegeben. Der kommt schonmal mit in diese ONB hinein. Was müssen nun die verbliebenden \(n-1\) Vektoren \((v_1,...,v_{n-1})\) erfüllen, damit \(\mathcal{B}:=(v_1,...,v_{n-1},w)\) die Aufgabenstellung in d) erfüllt?

Comments

Danke, das hilft mir sehr. Ich komme am Ende auf die Diagonalmatrix mit den Diagonaleinträgen (-1, 1, 1, ..., 1) - ist das richtig?

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Sieht gut aus. Wie hast du deine Basis gewählt, bzw. hingeschrieben?

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Ich bin von w als Basisvektor ausgegangen, habe um v₂ bis v_n ergänzt und dann orthonormalisiert auf w, w₂, ..., w_n. Dabei habe ich 1c genutzt, d. h. die Orthogonalität.

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Ja, das sieht gut aus! Du kannst auch gleich sagen, dass die Vektoren \(v_2,...,v_n\) bereits orthonromal sind und orthonromal zu \(w\). Das kannst du deswegen sagen, weil aus Gram-Schmidt die Existenz einer solchen Basis für ein endlich dimensionalen euklidischen/unitären \(\mathbb{K}\)-Vektorraum folgt.