Bestimmen Sie die darstellende Matrix A = MB(s) von s bezüglich der Basis B = (1,t,t^2).

Question

Aufgabe:

Gegeben Sei auf V = span(1, t, t^2) ⊂ R(t) das Skalarprodukt s(f,g) = \( \int\limits_{-1}^{1} \) f(t) g(t) dt.

a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix A = M_B(s) von s bezüglich der Basis B = (1,t,t^2).

Problem/Ansatz:

Die Musterlösung fängt so an: A = (a_ij) ∈ M (3x3; R) mit a_ij =  \( \int\limits_{-1}^{1} \)t^i-1 t^j-1 dt ...

Grundsätzlich verstehe ich die Musterlösung, weiß aber nicht, wi eman auf den Teil t^i-1 * t^j-1 kommt. Warum ausgerechnet -1?

Wo wird hier Bezug auf den Span bzw. die Basis B genommen, bzw. passiert das überhaupt? Es kommt eine 3x3 Matrix raus, woher weiß mann, dass es eine 3x3 Matrix sein muss?

Answer 1

Hallo

1. die Basis ist 3d also muss auch die Matrix 3 d Vektoren abbilden, also 3 mal 3 sein- 2, um 2 abzubilden muss doch doch a₁₁ das .skalarprodukt von 1*1=t^0*t^0 also i-1, j-1  im Integral stehen  entsprechen für a₃₃ t^2*t^2 genauso sieht du dann a12  usw an .

Gruß lul

Comments

Achso, ich dachte ich rechne es einmal aus und erhalte nach dem Integral dann ein bruch, in den ich alle Varianten von i,j = 1,2,3 einsetze. Ist aber das selbe, oder? Also erstmal das Integral für den fall a11, i,j = 1, somit t^i-1, t^j-1 ?

Noch eine andere Frage: später bei B), berechnung einer ONB, steht: B2 = x -\( \frac{<x,1>}{<1,1>} \) = x. Aber das kann doch gar nicht sein, oder? x - \( \frac{x*1}{1*1} \) = x - x = 0, oder nicht? (Wobei B1 = 1 ist)

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Hallo

was soll die Aufgabe b) denn sein?  anscheinend sollst du aus der Basis (1,t,t^2) eine Orthonormalbasis machen oder eine orthogonal nur ? Dazu dient das Gram-Schmidtverfahren, nur deine Formel ist falsch. du fängt mit einen Vektor z. B. v1=1 an normierte ihn als <1,1>=1 dann für den zweiten  b2=v2- <v2b1>*b1 dann v2 normieren. sieh dir das Verfahren in wiki an:

deine Formel hast du falsch abgeschrieben ?auf jeden Fall ist sie so falsch

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren

lul

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Normieren tut der prof später, nachdem er mit gram schmidt die werte ohne normieren ausgerechnet hat und danach in das integral gepackt hat (jeweils). Und dann normiert er erst. Formel hat er so aufgeschrieben.

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Hallo

dann hat er sich verschrieben oder du falsch abgeschrieben. Was z.b ist denn x darin? aber wegen b1=1 hat er das weggelassen und <t,1>=0

lul

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Naja genau, x quasi die zweite variable von V bzw span. Und 1 die erste. Also B1 =  , und B2 dann quasi die formel die ich geschrien habe, = x (laut prof). Bei mir kommt dann aber 0 raus.

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Hallo

x ist ja der 2 te Vektor also t was kommt bei dir denn für <1,t> raus? Was bei mir rauskommt ist 0, das hatte ich auch schon geschrieben

x -\( \frac{<x,1>}{<1,1>} \)*1 = x.

mit deinen wirklichen Bezeichnungen B2=t--\( \frac{<t,1>}{<1,1>} \)*1=t-0/2=t

lul

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Bedeutet <x,1> nicht x * 1?

Der prof hat zweimal x stehen, nicht x und t. Also entweder x oder t.

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Hallo

nein   <x,1> bezeichnet das skalarprodukt! im ersten post s(x,1) genannt, aber da euer Prof es benutzt wohl auch bei euch so bekannt

lul

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Ja genau, das ist das Skalarprodukt. Wie rechnet man dass denn? <x,1> ?

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Wie man das skalarprodukt berechnet stand doch im ersten post und für die Air hast du die a_ij doch schon alle berechnet?

lul

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He? ich steh aufm Schlauch.

Bei <\( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix} \)>

erhalte ich doch 1*2 + 2 * 3 oder nicht?

Und bei <t,1> dann t * 1 = t.

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Hier ist \( \langle u, v \rangle = s(u,v) = \int_{-1}^1 u(x)v(x) ~\textrm d x \)

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Lies nochmal die Aufgabe und Def. in deinem ersten post, da steht das Skalarprodukt s(f,g) = \( \int\limits_{-1}^{1} \) f(t) g(t) dt. und statt s(t,1) schreibt man auch <t,1>

aber eigentlich schrieb ich das schon?

lul

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Ich verstehe es nicht. Wie sieht es denn dann ausgeschrieben aus, die Rechnung?

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s(t,1)=<t,1>=\( \int\limits_{-1}^{1} t*1dt\)

wieso geht das nicht aus der definition des Skalarprodukts hervor? du hast doch auch die aij so bestimmt?

lul