Orthonormalbasis von span

Question

Die Aufgabe lautet

Gegeben sind die Vektoren V1\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) v2\( \begin{pmatrix} -1\\0\\-2 \end{pmatrix} \)

(a) Geben sie die orthonormalbasis von Span(v1,v2).

(b) finden sie einen Vektor v3 ≠ 0 der sowohl auf v1 als auch auf v2 senkrecht steht.

Ich verstehe leider gar nicht wie ich bei der Aufgabe ansetzen soll, und hoffe das mir wer weiterhelfen kann.

Answer 1

Aloha :)

(a) Wir nehmen \(\vec v_1=(1|1|1)^T\) in die Orthonormalbais auf, müssen aber noch normieren:$$\vec b_1=\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$Durch Projektion von \(\vec v_2=(-1|0|-2)^T\) auf \(\vec b_1\) erhalten wir den Anteil \(\vec v_2^\parallel\) von \(\vec v_2\) der parallel zu \(\vec b_1\) ist. Den zu \(\vec b_1\) senkrechten Anteil \(\vec v_2^\perp\) von \(\vec v_2\) erhalten wir duch Subtraktion des parallelen Anteils \(\vec v_2^\parallel\) von \(\vec v_2\):$$\vec v_2^\perp=\vec v_2-\vec v_2^\parallel=\vec v_2-\left(\vec v_2\cdot\vec b_1\right)\cdot\vec b_1$$$$\phantom{\vec v_2^\perp}=\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}-\left[\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]\cdot\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec v_2^\perp}=\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}-\frac{(-3)}{3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$$Wieder müssen wir \(\vec v_2^\perp\) noch normieren, um den zweiten Basisvektor zu erhalten:$$\vec b_2=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$$

(b) Da das Vektorprodukt auf seinen beiden Argumenten senkrecht steht, ist:$$\vec v_3=\vec v_1\times\vec v_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2-0\\-1-(-2)\\0-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$$

Comments

Danke für die Antwort, hab es jetzt verstanden :)