Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von W:=\operatorname{Span}((\begin{array}{ll}1 i\end{array})) .

Question

Aufgabe:

Sei \( V=\operatorname{Mat}(2,2, \mathbb{C}) \), und \( \langle-,-\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{C} \) definiert als

\( \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left({ }^{t} \bar{A} B\right) . \)

Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von \( W:=\operatorname{Span}\left(\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & i\end{array}\right)\right) \).

Problem/Ansatz:

ich bekomme als ONB (1 0      (i/2 1

                                      0  1)     1    i+i/2)

Das kann aber nicht stimmen da die Basis Elemente doch orthogonal zueinander sein müssen oder verstehen ich etwas falsch?

Comments

Hm,

da müsstest Du was dazu sagen, wie die Definition des Skalarproduktes zu übersetzen ist...

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DIe Spru von dem Prdoukt der Transponierten und konjugierten Matrix von A mal B

Spur Summe der Einträge auf der Diagonalen

Answer 1

Ah, ja das dacht ich mir fast schon, das Transponieren als Vorlauf-Zeichen ist merkwürdig...

ich komm dann allerdings auf

\(\small o_1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\end{array}\right)\)

und

\(\small o_2 \, :=  \sqrt{10} \; \left(\begin{array}{rr}\frac{-i}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{i}{10}\\\end{array}\right)\)

Comments

das hatte ich zu aller aller erst auch. Aber muss dieser nicht auch mit der zweiten Matrix aus W orthogonal sein?

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Hm,

dieser ? (wer?)

\( \left\{ {<o_1,o_2>}= 0, {<o_1,o_1>}= 1, {<o_2,o_2>}= 1 \right\} \)

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entschuldige. Ja die sind orthogonal aber muss o2 nicht auch noch orthogonal zu     

(0 1

 1 i ) sein?                                                                                                                

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Was heißt auch noch?

Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von W ==> O

O={o_i} ist eine Normalbasis - die Vektoren o_i stehen senkrecht aufeinander

<o_1,o_2>=0

und haben die Länge

<o_i,o_i>=1

Gram-Schmidt angewendet auf W (ist eben keine Orthonormalbasis)

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dann will ich anscheinend zu viel

was mich aber überhaupt erst stutzig gemacht hat war die nächste Aufgabe auf dem Blatt.

Text erkannt:

Finden Sie \( A \in W \) und \( B \in W^{\perp} \), so dass \( A+B=\left(\begin{array}{cc}1 & i \\ -i & -1\end{array}\right) \).

Hier bin ich mit dem Ergebnis aus c (das deine) nämlich nicht mehr weitergekommen.

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vielleicht auch das flasche ;-)

Mach Dir ein anschauliches Beispiel

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/mcxn9nd9

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na so meinte ich das nicht. ich hatte es doch auch raus aber irgendwas stimmt da irgendwie nicht :D

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Nun für c hätte ich angesetzt

\(a1 \; e1 + a2 \; e2 + a3 \; o_1 + a4 \; o_2 = \left(\begin{array}{rr}1&i\\-i&-1\\\end{array}\right)\)

Das GLS hat tatsächlich keine Lösung und damit kann man immerhin feststellen das es A; B nicht gibt?

oder irgend ein Abschreib/Druckfehler?

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ne hatte ich vorhin extra nachgefragt :D

und abschrebfehler auch nicht ist direkt daraus kopiert

Genau das gleiche habe ich auch gemacht und dann fing ich an der Aufgabe c zu zweifeln :D und dann kam ich hier her....

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Es muss A und B aber geben da W und W Orthogonal zusammen komplett V aufspannen müssen