Zeigen Sie, dass jedes Element aus R \backslash\left\{(\begin{array}{ll}0 0\end{array})\right\} invertierbar ist.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(i) Sei \( M=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{2}\left(\mathbb{F}_{2}\right) \) und
\( R=\left\{x E_{2}+y M \mid x, y \in \mathbb{F}_{2}\right\} . \)

Zeigen Sie, dass jedes Element aus \( R \backslash\left\{\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)\right\} \) invertierbar ist.
(ii) Zeigen Sie, dass \( A B \in R \) und \( A \pm B \in R \) für alle \( A, B \in R \).
(iii) Zeigen Sie, dass \( A B=B A \) für alle \( A, B \in R \).

Ich habe keine Ahnung was "R" ist und etc. Bitte um Hilfe mit Beispiel. Ich wüsste es sehr zu schätzen.

Problem/Ansatz:

Lineare Algebra / Analytische Geometrie

Answer 1

Die Menge R ist eine endliche Menge von Matrizen über dem endlichen Körper F2.

Da x,y ∈ F2, weisst du, dass folgende Paare auftreten können:

(x,y) ∈ {(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)} = F2 x F2.

D.h. in Worten: Es gilt x = 1, y = 0 oder x = 0, y = 1 oder x = y = 1 oder x = y = 0.

Nun kannst du damit auch folgern, dass

yM = {M falls y = 1, (0) falls y = 0

ist, wobei (0) die 2x2-Nullmatrix sein soll.

Genauso kannst du was für xE_2 aussagen (das überlasse ich dir).

Da du dann beide Summanden yM und xE_2 explizit bestimmt hast, kannst du also erkennen welche Elemente insgesamt in R liegen.

Damit löst du ganz einfach die Aufgaben, indem du eigentlich nur noch bischen rechnest.