Aloha :)
zu a) Linearität
Eine Funktion \(h(x)\colon\mathbb C^3\to\mathbb C^2\) ist linear, wenn für alle \(x;y\in\mathbb C^3\) und \(\alpha\in\mathbb C\) gilt:$$h(\alpha\cdot x+y)=\alpha\cdot h(x)+h(y)$$
Wir prüfen das für \(f\):$$f(\alpha\cdot x+y)=f\begin{pmatrix}\alpha x_1+y_1\\\alpha x_2+y_2\\\alpha x_3+y_3\end{pmatrix}=\binom{i(\alpha x_2+y_2)+(\alpha x_3+y_3)}{(\alpha x_3+y_3)-(\alpha x_1+y_1)}$$$$\phantom{f(\alpha \cdot x+y)}=\binom{i\alpha x_2+\alpha x_3+iy_2+y_3}{\alpha x_3-\alpha x_1+y_3-y_1}=\binom{\alpha(ix_2+x_3)+(iy_2+y_3)}{\alpha(x_3-x_1)+(y_3-y_1)}$$$$\phantom{f(\alpha\cdot x+y)}=\alpha\binom{ix_2+x_3}{x_3-x_1}+\binom{iy_2+y_3}{y_3-y_1}=\alpha\cdot f(x)+f(y)\quad\checkmark$$
\(g\) ist nicht linear, denn dann müsste das pinke Gleichheitszeichen gelten:$$\underbrace{g\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}_{\binom{0}{0}}=g\left(\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right)\pink=\underbrace{g\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix}}_{\binom{-2}{1}}+\underbrace{g\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}_{\binom{2}{1}}$$Aber es ist \(\binom{0}{0}\ne\binom{-2}{1}+\binom{2}{1}=\binom{0}{2}\).
Die Funktion \(f\) ist linear, die Funktion \(g\) ist nicht linear.
zu b) Abbildungsmatrix angeben
Wir sollen nun der Reihe nach für \(h\) jede lineare Funktion unter \(f\) und \(g\) einsetzen. Da nur \(f\) linear ist, brauchen wir ab jetzt also nur noch \(h=f\) zu betrachten.
Die Abbildungsmatrix \(A\) können wir sofort angeben:$$f\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\binom{ix_2+x_3}{x_3-x_1}=x_1\binom{0}{-1}+x_2\binom{i}{0}+x_3\binom{1}{1}=\underbrace{\begin{pmatrix}0 & i & 1\\-1 & 0 & 1\end{pmatrix}}_{\eqqcolon A}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$
zu c) Angabe des Kerns
Der Kern einer Abbildung enthät alle Argumente, die auf \(0\) abgebildet werden. Wir lösen daher das folgende Gleichungssystem:$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Operation}\\\hline0 & i & 1 & 0 &\cdot(-i)\\-1 & 0 & 1 & 0 &\cdot(-1)\\\hline0 & 1 & -i & 0 &\Rightarrow x_2-ix_3=0\\1 & 0 & -1 & 0 &\Rightarrow x_1-x_3=0\end{array}$$
Wegen \((x_1=x_3)\) und \((x_2=ix_3)\) lauten alle Lösungen:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_3\\ix_3\\x_3\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}1\\i\\1\end{pmatrix}$$Eine mögliche Basis des Kerns ist offenbar:$$\operatorname{Kern}(f)=\begin{pmatrix}1\\i\\1\end{pmatrix}$$
zu d) Injektivität und Surjektivität
Injektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb C^2\) höchstens 1-mal getroffen wird. In (c) haben wir gesehen, dass es unendlich viele Vektoren gibt, die auf \(\binom{0}{0}\in\mathbb C^2\) abgebildet werden. Die Funktion \(f\) ist also nicht injektiv.
Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb C^2\) mindestens 1-mal getroffen wird. Wegen$$f\begin{pmatrix}-c_2\\-ic_1\\0\end{pmatrix}=\binom{i\,(-ic_1)}{-(-c_2)}=\binom{c_1}{c_2}$$können wir für jedes beliebige Element \(\binom{c_1}{c_2}\) aus der Zielmenge \(\mathbb C^2\) von \(f\) ein \(x=(-c_2;-ic_1;0)\in\mathbb C^3\) angeben, das darauf abgebildet wird.
Die Funktion \(f\) ist daher surjektiv.
