Berechnen Sie den Grenzvektor (\begin{array}{l}p \\ q\end{array}) , dem sich Pauls Trinkverhalten auf lange Zeit …

Question

Aufgabe:

Paul ist ein eigenartiger Mensch. Er trinkt jeden Abend entweder zwei Flaschen Bier oder zwei Gläser Rotwein. Wenn er heute Wein trinkt, dann trinkt er mit der Wahrscheinlichkeit a morgen wieder Wein. Trinkt er heute Bier, dann trinkt er mit der Wahrscheinlichkeit \( b \) morgen Wein.
a) Geben Sie Übergangsmatrix M für das Trinkverhalten von Paul an.
b) Berechnen Sie den Grenzvektor \( \left(\begin{array}{l}p \\ q\end{array}\right) \), dem sich Pauls Trinkverhalten auf lange Zeit gesehen nähert. \( p \) ist die Wahrscheinlichkeit, dass Paul heute Abend Wein, und \( q \), dass er heute Abend Bier trinkt.
c) Angenommen es sei \( a=0,6 \) und \( b=0,3 \). Welchen wöchentlichen Vorrat an Wein und Bier sollte sich Paul langfristig anlegen?

Answer 1

a)

        \(M = \begin{pmatrix}a&b\\1-a&1-b\end{pmatrix}\)

b) Löse die Gleichung \(M\cdot \begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}\).

c) Einsetzen.

Comments

b)

a * p + b * q = q    | -q
a + b = 1                | -b
--------------
a * p + (b - 1) * q = 0
a                        = 1 - b
-------------------
(1 - b) * p + (b-1) * q = 0                  | - (b-1) * q
(1 - b) * p                 = - (b-1) * q    | : (1-b)
p                              = (- (b-1) * q) : (1-b)

$$\text{p} = \frac{-(b-1)\cdot q}{1-b}$$

Das stimmt sicher noch nicht ganz. Wo ist der Fehler?

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a * p + b * q = q

Korrekt ist

      \(a\cdot p + b\cdot q = p\).

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p und q müssen zusammen 1 ergeben, weil die Spaltensumme im Vektor ist immer 1.

a • p + b • q = p | - p
p • q             = 1    | - q

--------------------------------
(a - 1) • p + b • q = p | - p
p                         = 1 - q
--------------------------------
(a - 1) • (1 - q) + b • q = (1 - q)
a - 1 - aq + q + bq = 1 - q         | -1 + aq - q - bq
---------------------------------
a - 2                       = aq - bq - 2q
a - 2                       = (a - b - 2) * (q) | : (a - b - 2) 
(a - 2) : (a - b - 2)   = q

$$\Large q=\frac{a-2}{a-b-2}$$

Wär das so richtig für q?

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p - p in der dritten Gleichung ergibt natürlich 0.

a • p + b • q = p   | - p
p • q           = 1    | - q

--------------------------------
(a - 1) • p + b • q = 0
p                       = 1 - q

--------------------------------
(a - 1) • (1 - q) + b • q = 0
--------------------------------
a - 1 - a • q + q + b • q = 0 | - a + 1
--------------------------------
(- a + 1 + b) • q          = -a + 1 | : (- a + 1 + b)
q                                = -a + 1 : (- a + 1 + b)

$$\Large q=\frac{-a+1}{-a+1+b}$$

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\(\Large q=\frac{-a+1}{-a+1+b}\)

Die Probe sagt dir, ob das richtig ist.

Außerdem gibt es zum Lösen von Gleichungssystemen Computerprogramme wie zum Beispiel maxima. Lerne, sie zu benutzen.

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Bei c) wäre dann der Grenzvektor gesucht. Den kann man mit der allgemeinen Formel nun ganz einfach berechnen:

$$\Large q=\frac{-a+1}{-a+1+b}=\frac{-0.6+1}{-0.6+1+0.3}\approx0.57143\\p = 1 - q = 1 - 0.57143 = 0.42857 $$

Der Grenzvektor ist dann: $$\binom{0.42857}{0.57143}$$

Paul trinkt 14 Flaschen pro Woche. Woher weiß man was mit p und q gemeint ist? Ist p Bier oder Wein?

14 * 0.42857 = 6
14 * 0.57143 = 8

A: Paul sollte sich langfristig einen wöchentlichen Vorrat von 6 Flaschen/Gläser Rotwein/Bier? und 8 Flaschen/Gläser Bier/Rotwein? anlegen.

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Es gibt Computerprogramme. Lerne, sie zu benutzen.

Warum liefert Wolfram einen anderen Grenzvektor?

https://www.wolframalpha.com/input?i=matrix+%7B%7B0.3%2C0.3%2C0%2C1%7D%2C%7B0.2%2C0.6%2C0.5%7D%2C%7B0.5%2C0.1%2C0.4%7D%7D+*+matrix+%7B%7B25%7D%2C%7B42%7D%2C%7B33%7D%7D