Aloha :)
Der binomische Lehrsatz sollte aus der Schule bekannt sein:$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^k$$
Damit erhältst du:$$\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot\pink{1^{n-k}\cdot 1^k}=(1+1)^n=2^n$$$$\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot\pink{1^{n-k}}\cdot(-1)^k=(1+(-1))^n=0$$
Den binomischen Lehrsatz kannst du nach kurzer Überlegung sofort hinschreiben:$$(a+b)^n=\underbrace{(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)\cdots(a+b)}_{\text{n Faktoren}}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^k$$Beim Ausmultiplizieren musst du aus jeder Klammer entweder ein \(a\) oder ein \(b\) auswählen. Du hast \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten, aus den \(n\) Klammren ein \(b\) auszuwählen, die \((n-k)\) anderen Klammern liefern dann folglich ein \(a\). Es gibt also \(\binom{n}{k}\)-mal den Faktor \(a^{n-k}b^k\).
