Zeigen Sie, dass für den Binomialkoeffizienten (\begin{array}{l}n \\ k\end{array}) gilt:

Question

Text erkannt:

Es sei \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie, dass für den Binomialkoeffizienten \( \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \) gilt:
\( \left(\begin{array}{l} n \\ 0 \end{array}\right)<\left(\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}\right)<\cdots<\left(\begin{array}{c} n \\ \lfloor n / 2\rfloor \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n \\ \lceil n / 2\rceil \end{array}\right)>\cdots>\left(\begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array}\right)>\left(\begin{array}{l} n \\ n \end{array}\right), \)
wobei die untere Gaußklammer \( \lfloor\cdot\rfloor \) bedeutet, dass die Zahl abgerundet wird und \( \lceil\cdot\rceil \) bedeutet, dass die Zahl aufgerundet wird. Somit fallen bei geradem \( n \) die mittleren Terme zusammen.

Aufgabe:

Hey kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe zu Binomialkoeffizienten helfen? Stehe hier auf dem Schlauch.

Problem/Ansatz:

Meine Überlegung lautet irgendwie mithilfe des Pascalschen Dreiecks zu zeigen, dass es stimmt. Hat jemand vielleicht andere Ideen oder Lösungsansätze? Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe! :)

Comments

Kennst du die Darstellung mit Fakultäten? oder die aus der Statistik?

lul

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Ja kenne ich.

Answer 1

Für die linke Ungleichungskette sei also \(i+1 \leq n/2\). Dann gilt

$$2i+1 < 2i+2 \leq n \Rightarrow \frac{n-i}{i+1}>1$$

Daher folgt:

$${n \choose i}=\prod_{j=1}^i\frac{n-j+1}{j}<\frac{n-i}{i+1}\prod_{j=1}^i\frac{n-j+1}{j}=\prod_{j=1}^{i+1}\frac{n-j+1}{j} ={n \choose i+1}$$

Usw.