Aufgabe:
(4 P.) Sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) die lineare Abbildung
\( f(x, y, z)=(x+2 y+z, 2 x+5 y+4 z) \)
und sei \( C \) die Basis \( (1,3),(2,5) \) des \( \mathbb{R}^{2} \). Finden Sie eine Basis \( B \) des \( \mathbb{R}^{3} \) derart, dass \( { }_{C} \mathrm{M}_{B}(f)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \quad \) ist.
Problem/Ansatz:
Meine Idee war jetzt f(x,y,z) in Matrixschreibweise umzuschreiben: \(A= \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4\end{array}\right) \quad \)
dann könnte ich
A* \( (a, b, c) \) = 1*\( (1,3) \) + 0* \( (2,5) \)
A* \( (d, e, f) \) = 0*\( (1,3) \) + 0* \( (2,5) \)
A* \( (g, h, i) \) = 0*\( (1,3) \) + 1* \( (2,5) \)
dann kam ich ja zum Gleichungssystem:
a+2b+c= 1
2a+5b+4c= 3
d+2e+f= 0
2d+ 5e+4f= 0
g*2h* i= 2
2g+5h+4i= 5, das passt ja aber nicht, da ich 3 unbekannte und 2 Gleichungen habe, daher meiner Frage wo mein Fehler liegt? :) Dankeschön
