Defintionsbereich einer Umkehrfunktion

Question

Aufgabe:

Gegeben ist folgende Funktion:

f(x) = \( \frac{100}{2+e^{-3x}} \)

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion f ^–1(x) und geben Sie deren Definitionsbereich an.

Problem/Ansatz:

Die Umkehrfunktion habe ich bereits bestimmt:

f ^–1(x) = -\( \frac{1}{3} \)·ln(\( \frac{100}{x} \) - 2)

Mein Problem liegt jetzt beim Definitionsbereich. In einer anderen Aufgabe sollte ich bereits den Werteberreich der Funktion f(x) bestimmen: W = ]0; 50[

Nach meinem Verständnis sollte der Definitionsbereich der Umkehrfunktion dem Wertebereich der Ursprungsfunktion entsprechen. Bei f ^–1(x) kann doch aber 0 und 50 nicht zum Definitionsbereich gehören, oder?

Answer 1

Wieso nicht?

https://www.wolframalpha.com/input?i=domain+-1%2F3*ln%28100%2Fx+-2%29+

Comments

Bei x=0 würde ich durch Null teilen und bei x=50 hätte ich ln(0), oder?

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0 und 50 gehören als Ränder nicht dazu.

Da drückt diese Klammet aus: ]....[

Sie ist gleichbedeutend mit (....)

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Wieso nicht?

Weil sogar dein zitiertes Wolframalpha anzeigt, dass 0 und 50 NICHT zum Definitionsbereich gehören. (Das war die Antwort für ggt).

Jetzt die Antwort für den Fragesteller: Du hast doch selbst mit deiner Klammersetzung in

W = ]0; 50[

die beiden Werte ausgeschlossen.

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Dann hatte ich die Notation nicht richtig verstanden. Ich glaube mein Denkfehler war, dass die Funktion ja nur gegen 0 und 50 strebt, den Wert tatsächlich aber nie annimmt.

Answer 2

f^-1(x)=\( \frac{1}{3} \) ·ln(\( \frac{x}{2·(50-x)} \)) (in der Abb. rot)

Comments

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