Umkehrfunktion von Bruch bestimmen

Question

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Aufgabe 4 (4 Punkte) Die Funktion
\( f: \mathbb{R}^{+} \longrightarrow(-3,7): x \longmapsto \frac{7 x-3}{x+1} \)
besitzt eine Umkehrfunktion \( f^{-1}:(-3,7) \longrightarrow \mathbb{R}^{+} \). Es gilt \( f(1)=2 \).
(a) Berechnen Sie:
\( f^{\prime}(x)=\frac{10}{(x+1)^{2}}, \quad\left(f^{-1}\right)^{\prime}(2)=\square \frac{2}{5} \)
(b) Bestimmen Sie die Tangente \( t_{1} \) an den Graphen von \( f \) im Punkt \( (1,2) \).
\( t_{1}: y=\square \frac{5}{2} x+\frac{1}{2} \)
(c) Bestimmen Sie die Tangente \( t_{2} \) an den Graphen von \( f^{-1}:(-3,7) \longrightarrow \mathbb{R}^{+}: y \longmapsto x=f^{-1}(y) \) im Punkt \( (2,1) \).
\( t_{2}: x=\square \frac{2}{5} y+\square \)

Guten Abend,könnte mir hier bitte jemand erklären, wie die Umkehrfunktion zu bestimmen ist?
Die Gleichung mit y gleichsetzen und nach x umformen funktioniert leider nicht.
LG

Comments

Kann mir bitte jemand erklären, was diese Schreibweise genau bedeutet:$$ f: \space \mathbb{R}^{+} \longrightarrow(-3,7): \space x \longmapsto \frac{7 x-3}{x+1} $$insbesondere kann ich mit \(\mathbb{R}^{+} \longrightarrow(-3,7)\) im Kontext mit dem, was folgt, nichts anfangen.

Ich lese dort, dass die Definitionsmenge \(\mathbb{R}^{+}\) ist und die Zielmenge \((-3,7)\), also ein einzelner Punkt in \(\mathbb{R}^2\) (oder?).

Das macht aber IMHO gar keinen Sinn.

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Das ist die übliche Schreibweise für ein offenes Intervall.

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Das ist die übliche Schreibweise für ein offenes Intervall.

Danke! Oh Mann ... das kommt davon, wenn sich zuviel mit Vektoren beschäftigt ;-) irgendwann wachsen einem die Scheuklappen.

Answer 1

Du brauchst die Umkehrfunktion gar nicht. Das geht über die Umkehrregel.

Es gilt

\((f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}\).

Wegen \(f(1)=2\) ist \(f^{-1}(2)=1\) und daher \((f^{-1})'(2)=\frac{1}{f'(1)}=\frac{(1+1)^2}{10}=\frac{2}{5}\).

Answer 2

Erstens geht das übliche Bestimmen der Umkehrfunktion hier auch, genauso wie Du es anscheinend versucht hast. Bei Problemen damit lade Deine Rechnung hoch, dann wird schnell klar, woran es liegt.

Und zweitens ist in der Aufgabe gar nicht nach der Umkehrfunktion gefragt. Löse keine Aufgaben, die da gar nicht stehen.

Für \((f^{-1})'(y)\) gibt es eine Formel in Deinen Vorlesungsunterlagen ("Ableitung der Umkehrfunktion"). Schlag nach, wende die an und melde Dich bei Problemen gerne nochmal mit Deiner Rechnung.

Answer 3

ohne Umkehrregel:

umstellen nach x:

y(x+1) = 7x-3

xy+y-7x=-3

x(y-7)= -3-y

x= (-3-y)/(y-7)

vertauschen von x und y:

f(-1)= y= (-3-x)/(x-7) = (x+3)/(7-x)

Ableiten mit Quotientenregel:

u=x+3 , u'= 1

v= 7-x, v' =-1

y' = (1(7-x)+ (x+3))/(7-x)^2  = 10/(7-x)^2

b) t(x) = (x-1)*f '(1) + 2

c) t(x) = (x-2)* f^(-1)'(2) + 1