Aloha :)
$$S\coloneqq\sum\limits_{j=0}^n\sum\limits_{i=j}^{n}\binom{n}{i}\binom{i}{j}=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^i\binom{n}{i}\binom{i}{j}$$Die Änderung der Summationsreihenfolge ist vielleicht nicht direkt offensichtlich. Daher mach dir zunächst klar, über welche Indexpaare eigentlich addiert wird. In der folgenden Tabelle sind diese Paare mit einem \(+\) gekennzeichnet. Die Paare mit einem \(-\) kommen in der Summation nicht vor:$$\begin{array}{c|c}i\downarrow j\rightarrow & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots & n\\\hline 0 & + & - & - & - & - & - & \cdots & -\\ 1 & + & + & - & - & - & - & \cdots & - \\ 2 & + & + & + & - & - & - & \cdots & -\\ 3 & + & + & + & + & - & - & \cdots & -\\ 4 & + & + & + & + & + & - & \cdots & -\\ 5 & + & + & + & + & + & + &\cdots & -\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\n & + & + & + & + & + & + & \cdots & +\end{array}$$
In der aktuellen Summation wählen wir zuerst mit \(j=0\ldots n\) eine Spalte aus und halten sie fest. Dann laufen wir mit \(i=j\ldots n\) die Spalte hinab. Anschließend erhöhen wir \(j\) und gehen zur nächsten Spalte.
Wir können aber auch zuerst mit \(i=0\ldots n\) eine Zeile auswählen und diese festhalten. Dann laufen wir mit \(j=0\ldots i\) diese Zeile entlang. Anschließend erhöhen wir \(i\) und gehen zur nächsten Zeile.
Genau das wurde bei der Änderung der Summengrenzen oben gemacht. Das hat nämlich den Vorteil, dass bei der Summation über \(j\) die Werte für \(i\) und \(n\) konstant sind, sodass wir \(\binom{n}{i}\) vor die Summe ausklammern können:$$S=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^i\binom{n}{i}\binom{i}{j}=\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}\sum\limits_{j=0}^i\binom{i}{j}=\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}\left(\sum\limits_{j=0}^i\binom{i}{j}\pink{\cdot1^{i-j}\cdot1^i}\right)$$
In der eingeklammerten Summe habe ich zwei pinke Einsen ergänzt, damit du erkennst, dass wir dort nun den binomischen Lehrsatz anwenden können:$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\quad\implies\quad\sum\limits_{j=0}^i\binom{i}{j}\cdot1^{i-j}\cdot1^i=(1+1)^i=2^i$$
Damit vereinfacht sich unsere Summe und wir können den binomischen Lehrsatz noch ein weiteres Mal anwenden:$$S=\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}\cdot 2^i=\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}\cdot\pink{1^{n-i}}\cdot 2^i=(1+2)^n=3^n$$
