Aloha :)
$$\vec a_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\1\end{array}\right)\quad;\quad\vec a_2=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\\1\end{array}\right)\quad;\quad\vec a_3=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\0\end{array}\right)$$
Als ersten Vektor des Orthonormalsystems wählen wie \(\vec a_1\) aus und normieren ihn:
$$\vec e_1={\vec a_1}^{norm}$$
Als nächstes projezieren wir \(\vec a_2\) auf \(\vec e_1\). Das gibt uns den Anteil \(\vec a_2^\parallel\), der zu \(\vec e_1\) parallel liegt. Der zu \(\vec e_1\) senkrechte Anteil ist dann \(\vec a_2^\perp=\vec a_2-\vec a_2^\parallel\). Dieser Vektor normiert ist der zweite Basisvektor:
$$\vec e_2=\left[\vec a_2-(\vec a_2\cdot\vec e_1)\cdot\vec e_1)\right]^{norm}$$
Schließlich projezieren wir \(\vec a_3\) auf \(\vec e_1\) und auf \(\vec e_2\). Beide Projektionen ziehen wir von \(\vec a_3\) ab. Da diese Projektionen wieder senkrecht aufeinander stehen, steht der dann noch verbliebene Anteil von \(\vec a_3\) senkrecht auf \(\vec e_1\) und \(\vec e_2\). Formal heißt das:
$$\vec e_3=\left[\vec a_3-(\vec a_3\cdot\vec e_1)\cdot\vec e_1-(\vec a_3\cdot\vec e_2)\cdot\vec e_2\right]^{norm}$$
Zur Kontrolle für dich:
$$\vec e_1=\frac{1}{\sqrt3}\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\1\end{array}\right)$$
$$\vec e_2=\left[\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\\1\end{array}\right)-\frac{1}{3}\underbrace{\left(\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\\1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\1\end{array}\right)\right)}_{=2}\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\1\end{array}\right)\right]^{norm}=\left[\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\\1\end{array}\right)-\frac{2}{3}\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\1\end{array}\right)\right]^{norm}$$$$\phantom{\vec e_2}=\left[\left(\begin{array}{c}1/3\\1\\-2/3\\1/3\end{array}\right)\right]^{norm}=\left[\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}1\\3\\-2\\1\end{array}\right)\right]^{norm}=\frac{1}{\sqrt{15}}\left(\begin{array}{c}1\\3\\-2\\1\end{array}\right)$$
$$\vec e_3=\left[\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\0\end{array}\right)\!-\!\frac{1}{3}\underbrace{\left(\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\1\end{array}\right)\right)}_{=2}\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\1\end{array}\right)\!-\!\frac{1}{15}\underbrace{\left(\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\3\\-2\\1\end{array}\right)\right)}_{=2}\left(\begin{array}{c}1\\3\\-2\\1\end{array}\right)\right]^{norm}$$
$$\phantom{\vec e_3}=\left[\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\0\end{array}\right)-\frac{2}{3}\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\1\end{array}\right)-\frac{2}{15}\left(\begin{array}{c}1\\3\\-2\\1\end{array}\right)\right]^{norm}=\left[\left(\begin{array}{c}1/5\\3/5\\3/5\\-4/5\end{array}\right)\right]^{norm}$$$$\phantom{\vec e_3}=\frac{1}{\sqrt{35}}\left(\begin{array}{c}1\\3\\3\\-4\end{array}\right)$$
