Wird ein Skalarprodukt auf V defniert?

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob durch $$\langle\cdot, \cdot\rangle$$ jeweils ein Skalarprodukt auf V definiert wird.

$$\text { a) } V=\mathbb{R}^{n},\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\vec{a} \cdot \vec{b}=\sum_{j=1}^{n} a_{j} b_{j}$$

$$b) V=\mathbb{R}^{3},\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle= 2 a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+9 a_{3} b_{3}$$

$$c) V=\mathbb{R}^{2},\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle= a_{1} b_{1}-a_{2} b_{2}$$
$$d) V=\mathbb{R}^{2},\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle= a_{1} b_{1}+a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}+a_{2} b_{2}$$

$$e) V=\mathbb{R}^{3},\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle= a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+2 a_{3} b_{3}-a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}$$
Hinweis: Die Eigenshaften (S1) und (S2) können Sie für alle Aufgabenteile gleichzeitig überprüfen, denn alle Abbildungen haben die Form

$$\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\sum_{j} \sum_{k} \mu_{j k} a_{j} b_{k} \operatorname{mit} \mu_{k j}=\mu_{j k}$$

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll und habe gehofft ihr könnt mir vielleicht mal wieder helfen. Gibt es vielleicht einfach ein Verfahren mit dem man das hinbekommt ? Werde im Internet leider nicht fündig, kann aber auch daran liegen, dass ich nach dem falschen suche.

Danke schonmal für eure Antworten !

LG Crazy!

Answer 1

Die Eigenschaften S1 und S2 sind wohl die Bilinearität und Symmetrie.

Dazu nimmst du einfach den angegebenen Tipp.

zu positiv definit:

bei a) steht bei x = (x1,x2,...,xn) ja

$$<x,x>=\sum_{j=1}^{n} x_{j} x_{j}=\sum_{j=1}^{n} x_{j}^{2}$$

und die Summe von Quadraten reeller Zahlen ist nie negativ und gleich 0
genau dann, wenn alle Komponenten 0 sind.

b) x = (x1,x2,x3)  ==>

$$ <x,x>  = 2 x_{1}^2+x_{2}^2+9 x_{3}^2$$ auch pos. definit , gleiches Argument, die positiven

Vorfaktoren ändern das nicht.

c)  $$ <x,x>  =  x_{1}^2-x_{2}^2$$ ist negativ, z.B. für x= (0;1) . Also kein Skalraprodukt.

d) $$ <x,x>  =  x_{1}^2+x_{2}^2 +x_{1} x_{2} +x_{2} x_{1} =  x_{1}^2+x_{2}^2 +2x_{1} x_{2}=  (x_{1}+x_{2})^2$$

ist zwar nie negativ, aber auch dann gleich 0, wenn etwa x= ( -1;1) ist , also

kein Skalarprod.

e) $$e) <x,x>= x_{1} x_{1}+x_{2} x_{2}+2 x_{3} x_{3}-x_{2} x_{3}-x_{3} x_{2}= x_{1} x_{1}+x_{2} x_{2}+2 x_{3} x_{3}-2x_{2} x_{3} = x_{1}^2+x_{2}^2-2x_{2} x_{3}+ x_{3}^2 + x_{3}^2 = x_{1}^2+(x_{2}- x_{3})^2 + x_{3}^2 $$ also wieder ein Skalarprod.

Comments

Vielen Dank für die Atnwort, hat mir sehr geholfen !

allerdings verstehe ich leider nicht ganz wie ich die symmetrie und die bilinearität beweisen soll. Ich glaube ich versteh nicht was mir der tipp bringen soll, ich kann es zwar gleichzeitig überprüfen allerdings weiß ich nicht wie man es überhaupt überprüft.

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Tut mir leid, habe mich falsch ausgedrückt. Ich weiß glaube ich wie ich es einzeln prüfen kann, allerdings verstehe ich nicht ganz wie ich mit dem tipp gleichzeitig überprüfen kann.