Zeigen Sie, dass die Abbildung V × V → R, die durch (A, B) = tr(AtB) gegeben ist, ein Skalarprodukt auf V definiert.

Question

Aufgabe:

Die Spur trA einer quadratischen Matrix A ist die Summe der Diagonalelemente, also tr(a_ij)ⁿ_i,j=1 = ∑ⁿ_i=1 a_ii. Sei V der IR-Vektorraum der n×n- Matrizen. Zeigen Sie, dass die Abbildung V × V → R, die durch (A, B) = tr(A^tB) gegeben ist, ein Skalarprodukt auf V definiert.

Answer 1

1. \(tr:V\rightarrow \mathbb{R}\) ist \(\mathbb{R}\)-linear.

2. Für \(M\in V\) gilt: \(tr(M^t)=tr(M)\).

3. Für \(M,N\in V\) gilt \((MN)^t=N^tM^t\).

Zeige oder begründe 1. bis 3. und schließe daraus,

dass \((.,.):V\times V\rightarrow \mathbb{R}\) eine symmetrische

\(\mathbb{R}\)-Bilinearform ist.

Um die Positivdefinitheit zu beweisen, zeige durch explizite Berechnung,

dass \(tr(A^tA)=\sum_i\sum_j a_{ij}^2\) für die Matrix \((a_{ij})_{i,j=1,\cdots,n}\) ...